Hace unos días os planteamos el primer desafío, el del pájaro azuzú, con la esperanza de que pudiérais hincarle el diente y pasar un rato agradable dándole a la materia gris. Bueno, pues ha resultado que no sólo le habéis hincado el diente al desafío, sino que lo habéis masticado, triturado y digerido sin misericordia alguna. ¡Extraordinario! La cantidad y la calidad de las respuestas ha sido apabullante… y ha hecho muy difícil determinar qué cosas publicar en la respuesta, pues cualquier elección va a ser inevitablemente injusta.
Lo bueno del asunto es que, con tantas respuestas correctas y bien explicadas, podemos no sólo publicar la ganadora de cada una de las dos, sino además ofrecer una variedad de enfoques que aseguren que, si no has conseguido llegar al resultado correcto, entiendas cómo llegar a él de una manera u otra: si sigues leyendo encontrarás respuestas “clásicas”, animaciones, programas para calcular el resultado y dibujos explicativos varios. La creatividad con la que habéis respondido da esperanzas sobre el futuro de la especie. ¡Abrazo en grupo!
Antes de las explicaciones, para quienes queréis saber simplemente si habéis resuelto el problema correctamente o no, la respuesta a la primera pregunta es que el pájaro recorre 25 km, y la respuesta a la segunda pregunta, aunque puede expresarse de maneras diferentes, es básicamente que en el viaje n el pájaro recorre una distancia 75·0,25n.
Respecto a las respuestas ganadoras, por si luego os perdéis entre unas explicaciones y otras:
- En la primera pregunta el ganador ha sido Lucas, el segundo premio es para Ramón.
- En la segunda pregunta el ganador ha sido Kartoffel, el segundo premio es para BatchDrake y como menciones de honor curioso, Miguel Ángel y ControlByte.
Dicho esto, vayamos con las respuestas/explicaciones ganadoras. Como digo, ha sido muy difícil elegir, y pido disculpas a todos los que mereceríais estar publicados, que sois muchos. Por otro lado, lo importante de todo esto no era otra cosa que pensar y ver si has llegado a la conclusión correcta o no:
1. ¿Qué distancia total habrá recorrido el pájaro azuzú cuando las dos galeras se encuentren (todos los movimientos se producen sobre la misma recta)?
Esta primera pregunta era más fácil que la segunda, si te dabas cuenta de un hecho crucial, claro… algo que, por cierto, no me pasó a mí la primera vez que me encontré con este problema (en una forma distinta, pues había sido escrito por personas cuerdas), con lo que lo resolví a lo bestia respondiendo a la segunda pregunta antes, ¡ay, qué burrez la mía! Al menos, la fuerza bruta funcionó, pero me sentí muy burdo cuando vi la explicación sencilla.
En cualquier caso, la explicación ganadora es la de Lucas, ya que logra razonar la solución de una forma clara y a la vez concisa, y cualquiera que no sepa física puede entenderla fácilmente. Tengo que decir que esta primera pregunta era suficientemente sencilla como para que sea difícil lucirse respondiendo, a diferencia de la segunda:
Cada galera se desplaza con respecto al agua a 30 km/h, y se dirige la una hacia la otra. De esto se deduce que ambas se acercan entre sí a 60 km/h (como van en sentidos opuestos, sus velocidades se suman). Y sabiendo la distancia que las separa es de 30 km, podemos averiguar cuánto tiempo pasará hasta que se junten ambas galeras: si en una hora completan 60 km, para recorrer los 30 km tardarán la mitad: media hora. Ahora bien, como el extravagante pájaro azuzú siempre –pero siempre– se desplaza 50 km por cada hora, y en esta ocasión estará volando durante sólo media hora (el tiempo que dura el proceso entero), podemos concluir que el ave recorrerá 25 km en total, independientemente de cuántas idas y venidas haya hecho durante ese tiempo.
Como segundo premio y un enfoque diferente, Ramón llega a la misma conclusión de una manera más formal, utilizando ecuaciones de movimiento de una forma elegante, para quienes no acaben convencidos con el razonamiento informal: azuzu-Ramon.pdf.
2. ¿Qué distancia recorre el pájaro azuzú en cada uno de sus viajes entre galeras, en función del número de viaje (n = 1,2,3…)?
Así como la primera pregunta era matemáticamente muy sencilla si te dabas cuenta del meollo de la cuestión, la segunda requiere cierta sutileza, y puede resolverse de muchas maneras diferentes. Lo bueno de haber resuelto primero la primera parte del problema es que podemos utilizar esa respuesta para comprobar si la segunda parte tiene buena pinta o no: si sumamos la distancia recorrida por el pájaro en cada tramo, el total debería ser de 25 km. En este caso, por cierto, la bombilla debería encenderse cuando te das cuenta de que en cada tramo el azuzú recorre la cuarta parte que en el anterior, pero veamos cómo han llegado a esa conclusión los ganadores.
La respuesta ganadora a la segunda pregunta es la de Kartoffel. Clara, meridiana y muy visual:
Aquí es donde las cosas empiezan a ponerse interesantes. En primer lugar, hago un esquema del problema: un diagrama de las trayectorias de las galeras y el pájaro azuzú. En el eje x va el tiempo y en el eje y van las posiciones, de modo que la pendiente de las rectas que describen las trayectorias es proporcional a la velocidad:
Este esquema no está a escala y exagera la velocidad del azuzú para ver claramente el movimiento de zig-zag del ave. El diagrama con las dimensiones correctas tiene este aspecto:
El ave azuzú (50 km/h) es más rápida que las galeras (30 km/h), por lo que la trayectoria del pájaro tiene mayor pendiente que las de las galeras. De modo que empecemos a resolver el problema. En primer lugar, vamos a calcular cuánto tarda en dar el primer viaje. Observando el dibujo, vemos que la distancia que ha recorrido el azuzú en el primer viaje más la distancia que ha recorrido la segunda galera mientras el azuzú completaba su primer viaje suman 30 kilómetros:
De modo que podemos escribir la siguiente ecuación, válida cuando el ave llega a la segunda galera por primera vez:
Recordando que la distancia es la velocidad por el tiempo (ojo, ¡siempre que la velocidad sea constante! De lo contrario, hay que hacer cosas materroríficas), podemos reescribir la distancia recorrida por el azuzú como la velocidad del azuzú por el tiempo transcurrido, y la distancia recorrida por la segunda galera como su velocidad por el tiempo transcurrido:
Sacando factor común:
Con lo que podemos despejar fácilmente el tiempo. Nos interesa medir el tiempo en minutos, de modo que convertimos las velocidades de kilómetros/hora a kilómetros/minuto: la velocidad del azuzú es entonces 5/6 km/min y la de las galeras 1/2 km/min. Sumando velocidades, 5/6 + 1/2 = 4/3, y t = 30/(4/3) = 22.5 min
De modo que el primer viaje ha tardado 22.5 min, el 75% del tiempo restante. Ahora viene el paso del razonamiento que exige más concentración para entenderlo, de modo que es el momento de ponerse cómodo, coger una bebida y prestar atención. Si ahora nos fijamos en el primer dibujo, vemos que los triángulos que forman las trayectorias de los tres móviles son semejantes: ello es debido a que los ángulos son iguales porque las pendientes de las rectas (las velocidades) no varían. Ello implica que si tras el primer viaje queda un 25% del tiempo que quedaba al comienzo del primer viaje, entonces tras el segundo viaje también queda un 25% (porque los triángulos semejantes preservan las proporciones) del tiempo que quedaba al comienzo del segundo viaje (que es el mismo tiempo que quedaba al final del primer viaje). Habiendo entendido esto, lo restante está chupado:
De modo que el primer viaje durará 22.5 minutos, el segundo viaje durará el 25% de 22.5 minutos, el tercer viaje durará el 25% del 25% de 22.5 minutos, etc. Por lo tanto, podemos escribir el tiempo que dura el viaje n, que denominaremos τn, como:
que quiere decir que ese tiempo es proporcional al tiempo del primer viaje (22.5 minutos) y se multiplica por 25% tantas veces como viajes ha recorrido anteriormente: en el primer viaje ha recorrido cero viajes (no multiplicamos por 0.25), en el segundo viaje ya ha recorrido un viaje (multiplicamos una vez por 0.25) y en el viaje número n ya ha recorrido n - 1 viajes (de modo que multiplicamos por 0.25 una cantidad (n - 1) de veces o, lo que es lo mismo, 0.25^(n - 1))
La solución está a la vuelta de la esquina: la distancia recorrida en cada viaje (en km) es, simplemente, la velocidad del azuzú multiplicada por el tiempo que dura cada viaje:
De modo que ya está solucionado. Como curiosidad, podemos utilizar la expresión obtenida en este apartado para resolver el apartado 1 de una forma más bestia. La distancia total recorrida es la suma de las distancias de cada viaje: una suma de infinitos términos:
Para ello, aprovecharemos el siguiente hecho matemático:
En nuestro caso, a1 = 18.75 y k = 0.25, de modo que la suma vale 18.75/(1 - 0.25) = 25 km.
El segundo premio le corresponde a BatchDrake, cuya respuesta no es sólo elegante y bien explicada, sino además original e intuitiva para quienes no conozcan mucha física, ya que ha utilizado la geometría para llegar a la solución. Aunque muestro la solución de BatchDrake a continuación, puedes leerla con más comodidad en el archivo PDF: azuzu-Bube.pdf.
Veamos, ¿qué tenemos aquí? Dos galeras infinitesimales cuales vacas esféricas y un bonito pájaro Azuzú de similares proporciones. Ambas galeras, a 30 kilómetros cada una, se acercan a una velocidad de 30 kilómetros por hora respecto al agua, y nuestro caprichoso pájaro dando saltos de una galera a otra. ¿Cuánto espacio recorrerá el pajarito en total? ¿Hay alguna forma de deducir el espacio en función de un índice?
Para resolver esto, voy a plantear el problema de la siguiente forma: dibujaré dos ejes perpendiculares. En el horizontal, el espacio, donde ubicaré las dos galeras en los puntos − 15 y 15 km (que como podemos comprobar, están separados 30 km entre sí), y que darán al punto 0 el significado de punto intermedio en el que ambas galeras se encontrarán (se encontrarán en este punto medio exactamente, ya que ambas se mueven a la misma velocidad y en sentidos opuestos). En el vertical, el tiempo, que para no andar midiendo en horas, dividí en pequeños segmentos de seis minutos (esto tendrá su sentido como veremos luego). Sí, voy a poner el tiempo en vertical y el espacio en horizontal, porque creo que lo que puedo proponer se ve mucho mejor si lo dibujamos de este modo.
Así que, ¿cómo representamos nuestros barcos aquí? Bueno, sabemos que los dos se mueven a una velocidad constante, y esto quiere decir que se moverán en línea recta desde el punto inicial de cada uno al punto de encuentro, y que empezando en un instante inicial acabarán en un instante final.
Conocemos los puntos iniciales de cada barco (como dije antes, − 15 km y 15 km), sabemos dónde se encontrarán los dos (en el punto 0 de nuestra gráfica), consideramos nuestro instante inicial como las 0 horas, pero nos falta un dato. ¿En qué momento se encuentran?
Bueno, pues siguiendo esta gráfica, podemos escribir la función de una recta que nos dirá el punto en el espacio de cada galera en función del tiempo. Dejaré el tiempo en horas (ya que se nos dan nuestras velocidades en kilómetros/hora) y el espacio en kilómetros por la misma razón.
Para el barco 1:
s1(t)=−15+30t
Ya que en el momento inicial, s1(0) = − 15 km (punto de partida), y cada hora, nuestro barco avanza 30 kilómetros en un sentido. Para el barco 2 tenemos, sin embargo:
s2(t)=15−30t
Ese signo menos vendría significando que cada hora, el segundo barco recorre 30 kilómetros en el sentido opuesto que lo hace el otro.
Esto podría quedar claro con una ecuación (igualo una de esas funciones a cero -que es donde está el punto de encuentro-, despejo el tiempo y pista), pero creo que es más intuitivo si lo vemos como «despejar el tiempo cuando el punto del espacio de ambas galeras es el mismo». Es decir, ¿en qué momento ambas galeras estarán en el mismo sitio? Pues:
s1(t)=s2(t)
−15+30t=15−30t
Despejamos, y:
60t=30
t= 1/2 horas
O sea, a la media hora (30 minutos). Esto tiene sentido, porque si nos fijamos, ambas galeras recorrerán la distancia que las separa en una hora, y justo a mitad de camino (a la media hora) será cuando se encuentren. Si unimos nuestros puntos, nos queda algo como esto:
Ahora, vamos a por nuestro pájaro. Siguiendo un razonamiento similar, vamos a dibujar su recta correspondiente. Pero, ¡porca miseria! aunque tenemos su punto e instante inicial, no tenemos ni su punto ni instante finales. Sabemos que tiene que posarse en el barco 2, pero claro, el barco se mueve hacia nosotros, o sea que durante el viaje tendrá a su objetivo más y más cerca.
Con todo, podemos escribir su recta. Sabiendo que sale del barco 1 en el primer instante (en los −15 km) y que se mueve a 50 kilómetros / hora:
a(t)=−15+50t
¿Cómo podemos deducir cuándo (y dónde) se encuentra con el barco 2? Pues si recordamos el razonamiento que hicimos para conocer el momento en el que ambas galeras se encuentran, podríamos escribir algo como esto:
a(t)=s2(t)
−15+50t=15−30t
30=80t
t= 3/8 horas (22 minutos y medio)
¿Y en qué punto del espacio? Bueno, como ambas funciones en ese momento t deben valer lo mismo, podemos sutituir en una o en la otra. Por ejemplo, en a(t):
a(3/8)=−15+50·(3/8)=3.75
Por lo que el pájaro se posa en el barco a los 3.75 kilómetros a la derecha del punto central. Ya podemos dibujar:
Ahora quiero que nos fijemos en esto: el pájaro Azuzú dará media vuelta inmediatamente y a la misma velocidad, dando como resultado una recta de exactamente el mismo ángulo en nuestro gráfico (y por ende, también pendiente), aunque en sentido opuesto (ya que hace el trayecto en el otro sentido). Hasta ahí bien.
Otro detalle en el que fijarse, es que el eje horizontal, la recta del Barco 2 y la del Pájaro Azuzú forman un triángulo. Cuando el pájaro de media vuelta, describirá otro triángulo encima de este pero con la recta del Barco 1 en vez de la del Barco 2. ¿Cómo serán estos triángulos entre sí?
Manteniendo todos sus ángulos iguales (ya que lo forman las mismas rectas, al fin y al cabo), y variando sólo su tamaño, podemos decir que son semejantes. Esto ya es bueno, porque nos permite trasladar longitudes en cada momento en función del triángulo que describa cada viaje. ¿Para qué usaré esto? Si puedo medir la distancia que recorre el pájaro en el primer viaje y conozco cómo van variando de tamaño los triángulos, puedo conocer el siguiente espacio recorrido con una simple regla de tres.
Para esto, tomaré otro triángulo que cumple las mismas condiciones que lo anterior. Usaré triángulos rectos formados por el punto de encuentro con el Barco 2, el punto de inicio y la altura del triángulo que describí antes. Con esto nos queda que la base mide exactamente el espacio que el pájaro ha recorrido.
Que si medimos, es 3.75 − ( − 15) = 18.75 km. 18.75 km en la primera vuelta. Justo encima de ese triángulo, si trazamos una recta horizontal por el punto de encuentro, nos queda la misma figura reescalada que tendremos que volver a recorrer con la misma recta, y así sucesivamente:
Así que, como dije antes, y gracias a la estupenda semejanza entre los triángulos, podemos ver que la línea horizontal (que mide 7.5 km) que hemos trazado sobre el punto de encuentro es proporcional al eje horizontal (que mide 30 km). Por lo que podemos calcular el espacio recorrido en el segundo viaje por esta regla de tres:
30 -> 7.5
18.75 -> x
Si despejamos, nos da que x = 4.6875, lo cual es un cuarto del espacio recorrido en el anterior viaje. De hecho, si calculamos la razón de proporcionalidad entre cada triángulo, nos sale que cada lado es un cuarto del lado correspondiente del triángulo de abajo ( 30/7.5 = 1/4 ).
Así que recapitulando, sabemos cuánto recorre en el primer viaje, sabemos que en cada viaje recorre un cuarto del viaje anterior. ¿Podemos responder algo ya? Pues sí, mira tú, la pregunta dos.
En el primer viaje recorre 18.75. En el segundo, recorre 18.75·(1/4). En el tercero, recorre 18.75·(1/4)·(1/4) (un cuarto de un cuarto), y así sucesivamente. Una progresión geométrica de razón entre 0 y 1.
¿Cuánto será el espacio recorrido en cada viaje? Pues como podemos suponer:
Solución a la segunda pregunta del desafío: S(n) = 18.75(1/4)n−1
Donde n sería el número de viaje, comenzando en uno.
¿Cuánto espacio recorrerá en total? Esto puede resultar un poco complicado de ver: el pájaro Azuzú hará infinitos viajes, pero cada vez más pequeños. Un cuarto, y otro cuarto, y otro cuarto del anterior. Puesto que cada vez estará más cerca de cada barco, le llevará menos tiempo saltar de uno a otro. Pero matemáticamente, esto ha de contemplarse.
Si nos ponemos físicos, llegado un momento el pobre pájaro parece que vibrará en frecuencias bastante peligrosas, generando su propia radiación electromagnética y brillando con luz propia, cada vez más energética pero más tenue. Sin embargo, podemos respirar tranquilos, porque todos sabemos que los pájaros infinitesimales como nuestro pájaro Azuzú son muy resistentes a este tipo de maltrato, y lo más probable es que salga adelante sin más problemas que el vago recuerdo de una experiencia confusa relacionada con unos fogonazos de colores en apenas una fracción de segundo.
Ahora bien, estos infinitos viajes de psicodelia cósmica no suman un espacio infinito (mención a la paradoja de Zenón aquí). De hecho, hay una fórmula que se da en 3o de ESO ((Sistema educativo español, curso cuyos alumnos tienen 14-15 años)), que nos permite calcular la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica con r < 1, y dicha fórmula es:
S = a1/(1-r)
En nuestro caso, la razón es r = 1/4 y el elemento inicial a1 = 18.75. Por tanto, evaluamos y:
Stotal= 18.75/(3/4) = 25 km
Aparte de muchas otras respuestas alternativas y correctas a la segunda pregunta, no puedo evitar daros unos cuantos finalistas que han aportado algo nuevo a la cuestión.
curioso llega a la respuesta aproximada mediante un programa en C++ que realiza el cálculo iterativo hasta una precisión determinada, que podemos proporcionar nosotros (la variable prec, que en el ejemplo es de 0,1 metros): pajaro-curioso.cpp.
Miguel Ángel ha creado un applet de Java en el que puedes ver –dentro de un límite, claro– una simulación del movimiento de las dos galeras y del pájaro azuzú. Sirve además para comprobar cómo en unos pocos tramos la distancia se hace minúscula:
No tienes el plugin de Java
Finalmente, ControlByte plantea un problema diferente pero interesante: ¿qué sucedería si el pájaro azuzú se comportase como la luz, es decir, si su velocidad fuera siempre de 50 km/h independientemente de quién lo observase y fuera imposible ir más rápido de 50 km/h? Lo interesante de la pregunta es que serviría para resolver un problema parecido en el que, en vez de galeras, se tratase de naves espaciales, y en vez de un pájaro, de un rayo de luz que se moviera de la una a la otra:
En este caso, las velocidades y distancia entre las galeras dependen del sistema de referencia. Supongamos que estas medidas las ha tomado un náufrago sobre una balsa en reposo en medio del calmado océano, justo en el punto en que se cruzaran las galeras, a las que ve aproximarse a la (ahora sí) friolera velocidad de 30 km/h, separadas 30 Km. Por supuesto, ve moverse al pájaro azuzú a 50 km/h. Desde su privilegiada (y desesperada) posición, el náufrago vería las cosas de la misma manera que describíamos en el mundo galileano, y mediría un tiempo de 0.5 h hasta el cruce de las galeras, y un recorrido del pájaro azuzú de 25 km.
Pero desde las galeras, la cosa se vería de manera ligeramente distinta. Para empezar, el pájaro seguiría moviéndose a 50 km/h respecto a la galera, para sorpresa de los esforzados galeotes, que por mucho que le dieran caña a sus remos no conseguían sacarle una cabeza al pajarraco.
La otra galera se aproximaría a la primera a una velocidad inferior a la que media el capitán en el caso galileano. Ya no vería los 60 km/h (imposibles en el mundo donde el pájaro azuzú es el rey y nadie vuela más rápido que el) sino una velocidad de (30+30)/(1+ (30*30)/5^2) = 44.11 km/h.
La contracción de Lorentz-FitzGerald reduce la distancia entre galeras que ve el náufrago en un factor sqrt(1-30^2/50^2)}=0.8 con lo que visto desde una galera, la distancia a la otra galera es algo menor, 24 km, en lugar de los 30 que mide el náufrago.
En consecuencia, el tiempo que pasará hasta que se crucen las galeras (medido desde la galera) será de 24/44.11= 0.545 horas, algo mayor que el que observa el náufrago. En ese tiempo, el pájaro habrá recorrido una distancia de 0.54 h * 50 km/k = 27.2 km.
En el momento del cruce, capitanes y náufrago intercambian sus medidas y alguna cosa no les cuadra (creo que a mí me pasa algo similar). Al ser las galeras un sistema inercial, no pueden parar a recoger al pobre naufrago que permanece impertérrito a que el viento (inexistente) o las corrientes lo saquen de su atolladero.
Sólo queda en el horizonte la mirada de uno de los capitanes recordando al pájaro tornasolado, que parecía rojo cuando se alejaba de la nave y violeta cuando se acercaba. ¿Por qué narices le llamaban pájaro azuzú?
La verdad es que he disfrutado mucho con el desafío: me he comunicado con muchos de vosotros que normalmente no comentáis, por lo que decís os lo habéis pasado en grande echándole tiempo al problema –que era la intención principal, claro–, y he visto soluciones creativas y muy claras que nunca se me habrían ocurrido para enseñar a alguien la respuesta correcta.
De modo que, ¡gracias por el buen rato! Que vuestras neuronas no hayan sufrido más de lo necesario, que hayáis entendido dónde habéis metido la pata si la respuesta a la que llegásteis no era la correcta, y hasta el desafío que viene. Y, para los ganadores y finalistas, enhorabuena y… ¡abrazo en grupo!
Puedes encontrar este artículo y otros como él en el número de abril de 2010 de nuestra revista electrónica, disponible a través de Lulu:
