Como sabéis los habituales, nuestros Desafíos son pequeños retos para que ejercites la materia gris, que falta te hace. La idea es que, durante un rato, te recluyas y te olvides del mundanal ruido, de la hipoteca y del trabajo: como un gladiador en la arena, solo ante el “enemigo” y armado únicamente con un lápiz y un papel, además de tu dañado cerebro. Desde luego, la satisfacción si consigues resolver el problema será una recompensa aún mayor que el simple placer de pensar.

El desafío de hoy se parece un poco, en apariencia, al último que os planteamos, pero es sólo aparentemente. Aunque hay movimiento como en aquél, no hay diferentes estrategias ni hace falta utilizar una regla ni una calculadora: es un problema de probabilidad y sentido común. Además, como hemos hecho otras veces, habrá preguntas de distinta dificultad para que puedas mojarte los pies primero y, si te ves con fuerzas, lanzarte de lleno con las preguntas más difíciles.

Aviso: No confieses a familiares, amigos y conocidos que dedicas parte de tu tiempo a cosas como ésta, o tus relaciones sociales pueden sufrir –suponiendo que las tengas aún–.

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Encuentro estelar

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Las tensiones entre el Dominio Escarlata y la Unión Azul habían ido aumentando durante años. Y hoy, finalmente, tras un par de malentendidos con los respectivos embajadores, ambos imperios galácticos han decidido ir a la guerra simultáneamente. Cada uno de los dos imperios tiene una capital: el Planeta Escarlata y el Planeta Azul respectivamente, como se ve en este mapa galáctico (pincha en él para una versión a mayor resolución por si quieres imprimirlo, en vez de dibujarlo a mano tú mismo, para poder jugar con él):

Cada sistema estelar ha sido representado con un círculo blanco, y las dos capitales en el color correspondiente. Es posible viajar desde un sistema estelar a cualquiera de los que están conectados a él –y sólo a los conectados a él–, y cada tránsito de este tipo, dada la tecnología de naves espaciales de los dos imperios, lleva exactamente tres días. Por ejemplo, empezando en la Capital Escarlata, es posible viajar a los dos sistemas adyacentes, y el viaje a cualquiera de los dos duraría tres días.

El Dominio Escarlata y la Unión Azul han enviado, al mismo tiempo ambos, un escuadrón de naves de guerra hacia la capital del imperio contrario. Los dos escuadrones de batalla se comportan exactamente igual, y se mueven de acuerdo con las siguientes dos reglas:

• Desde un sistema estelar, el escuadrón elegirá únicamente de entre aquellos caminos que lo acercan hacia la capital contraria; nunca retrocederá hacia su propia capital.

• De entre las opciones disponibles de acuerdo con la primera regla, el escuadrón elegirá uno de los caminos de manera absolutamente aleatoria.

Si juegas un momento con el mapa, debería ser claro por tanto que –si nada lo impide– cada escuadrón de combate alcanzará el planeta capital contrario exactamente en 54 días (18 tránsitos entre sistemas). Pero, por supuesto, siempre existe la posibilidad de que ambos grupos de naves se encuentren en alguno de los sistemas intermedios y se produzca una batalla espacial, aunque esto no es muy probable. Y aquí tienes la primera pregunta del desafío: ¿cuál es la probabilidad de que ambos escuadrones se encuentren?

Si logras responder a ésa, puedes intentarlo con la segunda pregunta del desafío: si en vez de tener un mapa galáctico de 10x10 sistemas se tratase de un mapa de NxN sistemas, ¿cuál es la probabilidad de un encuentro (en función de N)?

Y, finalmente, imaginemos un tercer escenario alternativo. El mapa galáctico tiene, una vez más, NxN planetas, pero las naves de ambos imperios no funcionan igual. El Dominio Escarlata, debido a un mayor avance tecnológico, ha conseguido un motor hiperespacial superior al de la Unión Azul, de modo que las naves Escarlata sólo requieren de un día, en vez de tres, para realizar cada viaje entre sistemas. Por si cabe duda sobre qué constituye un encuentro, si los dos escuadrones se cruzan mientras viajan entre sistemas, sí se ha producido un encuentro, no hace falta que sea en un sistema estelar. La tercera pregunta del desafío es, ¿cuál es la probabilidad de un encuentro en este caso?

Como siempre, una vez que creas que has llegado a una solución –o a más de una, si te atreves con las otras preguntas–, puedes enviarnos tu respuesta por correo a desafios@eltamiz.com. Tenéis hasta el sábado 9 de octubre inclusive para hacerlo, y después publicaremos, como siempre, las mejores.

Da igual cuándo envíes la respuesta dentro del plazo, ser rápido no significa nada. Lo importante, además de llegar a las conclusiones correctas, es que sea una solución clara, didáctica –para quienes no hayan podido responder correctamente– y, si es posible, interesante. Esta entrada no tiene los comentarios abiertos por si a alguien se le ocurre poner la respuesta, de modo que si tienes alguna duda sobre el planteamiento, hazla por correo electrónico. En la solución dejaremos que podáis comentar lo que os dé la gana.

De modo que haz que esas células grises se ganen de una vez los azúcares con los que las alimentas, y vapulea este problema hasta que lo hayas dominado. ¡Al ataque!

ACTUALIZACIÓN: Este desafío ya ha sido resuelto y puedes leer la solución aquí.