Hace un par de días nos quedamos con la intriga de saber cómo diablos el espía Bolcajurneblio sabía que, introduciendo veinte mensajes al azar en los sombreros de los veinte embajadores, la probabilidad de que al menos uno de ellos hubiera recibido el mensaje correcto, escrito en su idioma, era muy parecida a 1/e. Veamos una de las maneras de llegar a ese resultado –hay más, pero ésta no requiere de derivadas ni series infinitas–. Además, probabilidades aparte, ¿qué sucedió después? ¿hubo suerte y algún embajador recibió el mensaje, con la consiguiente caída del Virrey, o no? Sí, sí… sé que la intriga te corroe, ¿cómo podría ser de otro modo? Pero paciencia.

“Imaginemos, queridísimo Reluedrahnoel”, empezó a explicar Bolcajurneblio a su ayudante, “que sólo hubiera habido dos embajadores en la recepción, y que tú introdujeras los dos mensajes en sus sombreros aleatoriamente. ¿Cuántas posibles combinaciones habría? La respuesta, naturalmente, es 2: mensaje 1 al embajador 1 y mensaje 2 al embajador 2, y vicecersa, 1 al 2 y 2 al 1. Digamos que son 11,22 y 12,21.”; el Lémur no esperaba a que su ayudante contestase, por supuesto, porque nunca lo hubiera hecho, pero la mirada esperanzada y atenta del otro lo animaba a continuar.

“De esas dos combinaciones, una sería un desastre para nosotros, la 12,21, mientras que la 11,22 sería estupenda, porque nos aseguraría el éxito en la misión. De modo que llamaré Desastre al caso en el que ningún embajador se va con el mensaje correcto. Si hay dos embajadores y dos mensajes, el número de Desastres es, por tanto 1. Dicho matemáticamente, llamando D(n) al número de posibles combinaciones desastrosas, D(2) = 1.”

Reluedrahnoel asintió, interesadísimo.

“Puesto que hay dos combinaciones posibles, y el número de desastres es 1, la probabilidad de desastre es de 1/2, es decir, 0,5. Dicho matemáticamente, llamaremos PD a la probabilidad de desastre, con lo que PD(2) = 0,5.”

“Pero en la recepción no había dos embajadores, sino veinte”, advirtió el filipandrino, ansioso de ayudar en el razonamiento.

“Sí, sí”, respondió Bolcajurneblio, _“pero vamos poco a poco. Si hubiera habido tres embajadores y tres mensajes, la cosa se complica un poco. Las posibles combinaciones son 6: 11,22,33 11,23,32 12,21,33 12,23,31 13,22,31 13,21,32.

De esas seis combinaciones posibles mensaje-embajador, sólo son desastres dos: 12,23,31 y 13,21,32. En todas las demás hay al menos un embajador que se va con el mensaje correcto. Luego D(3) = 2, y PD(3) = 2/6, es decir, PD(3) = 1/3, una probabilidad de desastre menor que en el caso anterior. El problema ahora es qué hacer si añadimos más embajadores, ya que la cosa se va a complicar muchísimo.”_

“Yo creo que ya se ha complicado bastante”, interpeló el pobre Reluedrahnoel, que no había entendido siquiera el caso de dos embajadores.

“Con cuatro embajadores, las posibles combinaciones son 24, claro”., siguió el Lémur, “ya que las posibles combinaciones siempre van a ser el factorial del número de mensajes, es decir, n!. No pienso ponerme a pensar en las posibles combinaciones de 20 mensajes con 20 sombreros una a una, ya que son… déjame pensar… 20!, es decir, 2432902008176640000 combinaciones, de las cuales algunas serán desastrosas y otras no, claro está.”

Su interlocutor lo miraba, fascinado.

“La solución puede ser la recursión. Supongamos que hay n embajadores, y fijémonos en uno en concreto, por ejemplo, el Cisne. Para que la combinación de mensajes-sombreros sea un Desastre, Cisne puede recibir absolutamente cualquier mensaje excepto el suyo, claro, es decir, puede recibir cualquiera de los otros n-1 mensajes, algo que puede suceder de n-1 maneras diferentes, una para cada mensaje.”

“Digamos que el Cisne recibe, por ejemplo, el mensaje destinado al embajador Filipandrino”, continuó el Lémur, y Reluedrahnoel sonrió ante la mención de su embajador.

“Entonces hay dos posibilidades: o bien el Filipandrino ha recibido a su vez el mensaje destinado al Cisne, o ha recibido cualquiera de los otros n-2 mensajes. En el primer caso, si ambos embajadores han recibido cada uno el mensaje del otro, podríamos hablar de un desastre entre ellos, pero aún quedarían otros n-1 pares de mensajes-sombreros que tal vez no serían desastres. Tendríamos entonces que comprobar el número de posibles desastres entre n-1 mensajes.”

“La otra posibilidad es que el Filipandrino no haya recibido el mensaje del Cisne sino uno de los otros n-2, en cuyo caso debemos considerar los posibles desastres entre los n-2 mensajes restantes.”

“Dicho de otro modo, si el Cisne recibe un mensaje que no es el suyo, hay D(n-1) posibles desastres en un caso, y D(n-2) posibles desastres en el otro. En total, D(n-1) + D(n-2) posibles desastres. Y como esto sucede siempre que el Cisne no reciba su mensaje, es decir, cuando recibe uno cualquiera de los otros n-1 mensajes, esto significa que el número de posibles desastres es n-1 veces la suma anterior. Dicho matemáticamente,” y aquí el Lémur hizo una pausa dramática, totalmente inútil ante Reluedrahnoel,

“D(n) = (n-1)*(D(n-1) + D(n-2))”

“Sólo nos hace falta saber un par de números de posibles desastres y podemos obtener cualquier otro. Por ejemplo, hemos dicho que D(2) = 1 y D(3) = 2, con lo que D(4) = 3*(D(3)+D(2)), es decir, D(4) = 3*(2 + 1) = 9. Y como el número de posibles combinaciones mensaje-sombrero eran 24 en ese caso, la probabilidad de desastre es PD(4) = 9/24, es decir, 0.375.”

“Pero no había cuatro embajadores, sino 20”, dijo el filipandrino una vez más.

“Sí, pero la recursión es más poderosa de lo que parece”, respondió el Lémur. “Basta con seguir calculando, de una manera algo laboriosa pero simple, hasta llegar a D(20), que no es más que 8,95014631192902·1017. Y, puesto que 20! es 2432902008176640000, la probabilidad de desastre es 0,3678794411714423. Curiosamente, 1/e es 0,3678794411714423…, con lo que la probabilidad de desastre en este caso es 1/e con una exactitud de 16 cifras decimales, nada más y nada menos. ¡Y esto con sólo 20 embajadores, Reluedrahnoel!”, exclamó el Lémur, excitado.

“¿Coincidencia?”, preguntó su ayudante. Bolcajurneblio negó con la cabeza.

“Yo creo que no”, sentenció.

Afortunadamente para la resistencia, ese 63% de probabilidad se hizo firme, y dos embajadores diferentes recibieron los mensajes correctos. Uno de ellos, irónicamente, fue el pobre Cisne, el responsable involuntario de todo el embrollo, y fue precisamente su cámara holográfica la que pudo retratar en todos sus lascivos detalles el encuentro libidinoso entre el Virrey Tromemerrondipte y la bella mima Hypatia. Y con ello finalizó el reino de terror de Tromemerrondipte, aunque la carrera de la bella Hypatia no hacía más que empezar… pero eso es otra historia, y tendrá que esperar a otra ocasión.

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Por si te gustan estas cosas, aquí tienes un pequeño script en python con el que jugar un rato: sombreros.zip. Está hecho muy rápido, así que es una chapucilla, pero seguro que lo puedes “traducir” al lenguaje que mejor domines para poder hacerlo mejor y juguetear con él. Recibe un argumento (el número de embajadores) y devuelve la probabilidad de desastre, es decir, de que ninguno de ellos salga de allí con el mensaje correcto. Por cierto, un aviso: no te pases con el número de embajadores, que el pobre bicho acaba tan superado como Reluedrahnoel ante una raíz cuadrada.