El desafío de Fernando y el cangrejito tenía dos partes; por un lado, os preguntábamos a qué distancia de sus pies ve Fernando al cangrejo, considerando al bicho como un punto. En la segunda parte le dábamos tamaño al cangrejo, y os preguntábamos de qué tamaño lo veía el niño. Tanto una cuestión como la otra se resolvían utilizando la Ley de Snell y luego dándole al tarro con la trigonometría, porque salían unas cuantas ecuaciones e incógnitas y había que buscarse la vida para resolverlas. Una vez hecho eso, hacía falta darse cuenta de un detalle puñetero que me parece muy interesante, pero vamos por partes.

Lo primero que hacía falta era hacerse un dibujito con Fernando, el cangrejo, el agua y un rayo que salga del cangrejo y llegue al ojo de Fernando tras “doblarse” debido al cambio de medio. Algo parecido a esto, en este caso el diagrama de Jaime, uno de los finalistas:

Una vez hecho eso, hacía falta determinar el rayo que, tras salir del cangrejo, llegaba a los ojos de Fernando, cumpliendo la Ley de Snell y la geometría del problema. Esto requería escribir unas cuantas ecuaciones, pero mejor que yo lo explica otro de los finalistas, Álex, con dibujo a mano incluido, de esos que llenan el alma:

Lo primero es entender las leyes que rigen la refracción de la luz. Realmente lo único que tenemos que conocer es la llamada Ley de Snell, que dice que la relación de los senos de los ángulos de entrada y salida (medidos desde la normal) de un rayo de luz que atraviesa dos medios distintos es la relación de sus índices de refracción respectivos.

En nuestro caso pasamos de aire (índice=1) a agua (índice=1.333), por lo que la relación entre los senos de los ángulos es de 1.333.

Y hasta aquí toda la física que necesitamos. Ahora llega la parte en principio más complicada, que es la geométrica.

En realidad el problema se puede resolver de manera bastante sencilla, simplemente fijándonos en algunos de los triángulos que se forman. Gráficamente vemos que:

Donde F son los ojos de Fernando, O’ sus rodillas, O sus pies, O’-I es la superficie del agua, O-I’ es la arena del mar, C es el cangrejo y C’ es el cangrejo aparente [Nota: El cangrejo aparente no está realmente ahí, pero a eso llegaremos luego]. I es por tanto el punto de la superficie del agua donde tiene que mirar Fernando para ver al cangrejo.

Ahora solamente nos queda resolver el sistema de ecuaciones propuesto. Como desconozco la forma de resolverlo analíticamente, tendré que recurrir a las iteraciones. Usaré Excel.

Ya tenemos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas que hay que resolver. Yo he usado una herramienta de Excel llamada “Goal Seek” que realiza iteraciones hasta alcanzar el valor esperado.

Digamos que el valor de la celda A1 es Phi1 y el valor de la celda A2 es Phi2. Entonces dejo A2 en blanco (será el valor perseguido) y en A1 pongo la formula “=asin(1.333*sin(A2))”

Luego en la celda A3 pongo la fórmula “=0.75tan(A1)+0.25tan(A2)” Ya sólo queda que Excel itere valores de A2 (única celda sin fórmula) que hagan que A3=1 y llegamos a los siguientes valores: Phi1 = 47,9744502 Phi2 = 33,867492

Existían más maneras de resolver el sistema, e incluso otros conjuntos de ecuaciones que llegaban al mismo sitio, pero al final siempre se llegaba aquí. Como yo no conocía la existencia de esa función en Excel –que habéis utilizado varios y me apunto para otras situaciones–, me hice un pequeño programita en Python que imagino que hará lo mismo: va probando rayos, mira si se pasa por alto o por bajo, hace la media de los extremos, reemplaza uno de ellos, etc., y así, iterando, iterando, llega a la solución correcta con el margen de error que le digamos. Por si alguien quiere jugar con él, cangrejo.zip.

Dependiendo de los valores exactos de los índices de refracción que se tomasen –hacía falta buscarlos, pero no era difícil– salen resultados ligeramente diferentes, pero eso era lo de menos: la clave de la cuestión era conseguir plantear el sistema y luego resolverlo. Lo han hecho de diferentes formas los dos finalistas que he mencionado, Álex y Jaime, como también Marcial, Toni, Oldman y José, que se marca además un dibujo en plan 3D que lo flipas:

Pero ¡ay!, todos estos finalistas obtienen una distancia Fernando-cangrejo de unos 1,095 metros, es decir, afirman que el bicho parece estar más lejos de Fernando de lo que realmente está por unos 10 cm… y esto es falso. Si os sirve de consuelo, prácticamente todo el mundo hace lo mismo (yo, desde luego, hice exactamente lo mismo que vosotros cuando me enfrenté a esto por primera vez). No es ya que el número esté mal, es que la imagen del cangrejo no está más lejos que el cangrejo real, es que pasa justo lo contrario: el cangrejo parece estar más cerca de Fernando de lo que está realmente. Irónicamente, para obtener el resultado correcto hacía falta antes hacer el cálculo que acabamos de hacer, de modo que los finalistas casi llegásteis al final, pero faltaba un paso más.

El único en seguir, dándose cuenta del detalle, ha sido el ganador de hoy, Alejandro; sin embargo, antes de mostraros su solución y entrar en números, por si ayuda a comprenderla de forma cualitativa, permitid que explique el detalle que hace falta tener en cuenta.

Del cangrejo no sale un rayo, claro está, sino una miríada de rayos. La imagen del cangrejo se forma en el punto de corte de esos rayos; por ejemplo, si no hubiera agua y viésemos al cangrejo en el lugar en el que realmente está, la cosa sería algo así:

El ojo percibe la imagen en el punto de donde provienen los rayos que le llegan – al ojo no llega un único rayo desde el cangrejo, claro, sino varios muy próximos y que no son paralelos.

Sin embargo, al poner agua de por medio, los rayos se “doblan”, como bien han tenido en cuenta los finalistas. Esto significa que no parecen venir de donde realmente vienen, y el ángulo que forman entre sí cambia. Al “doblarse”, el ángulo entre ellos se hace más grande que antes, con lo que el punto de corte entre ellos se acerca al observador, en este caso Fernandito:

Dicho de otro modo: la imagen del cangrejo que han calculado los finalistas está, efectivamente, sobre el rayo que han determinado (y que corta la arena a 1,095 metros de los pies de Fernandito)… pero el cangrejo no está en el punto de corte entre ese rayo y la arena, sino en el punto de corte entre ese rayo y los otros que salen del cangrejo, para lo que no hay más que hacer el cálculo de antes pero para un rayo casi paralelo al que acabamos de calcular.

Si has entendido los dibujos de arriba –espero que nadie rechiste, que son monísimos–, hazte un café o una infusión, coge papel y lápiz y empápate de la solución de nuestro ganador de hoy, Alejandro. Cuando termines con la primera pregunta, sigue con su respuesta a la segunda que, por cierto, también es contraria a la que un primer vistazo parece sugerir, ya que el cangrejo no parece más grande, sino más pequeño de lo que es en realidad. En fin, aquí lo dejo: solucion-alejandro.pdf.

Además, quiero dejaros una applet de Java bastante maja en la que puede moverse el objeto bajo el agua, los ojos, lo que te dé la gana, y ver cómo resulta la imagen. Evidentemente, no puede verse si no tienes Java instalado, y cuando se carga por primera vez puede parecer que el navegador se te queda “congelado” porque tarda un poco, pero si tienes paciencia luego podrás divertirte un rato y, seguramente, visualizar mejor lo que realmente sucede: http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=378.0

Como siempre, espero que lo más importante se haya cumplido: que hayáis pasado un rato delicioso peleando con un problema que os haga pensar menos en los de la vida cotidiana y que ejercite esas pobres y desgastadas neuronas… enhorabuena a los finalistas y el ganador, ¡y hasta el próximo desafío!