La semana pasada iniciamos nuestra discusión sobre el concepto matemático de infinito en la geometría y las series infinitas de operaciones. Hoy sin embargo, hablaremos de algo mucho más profundo y, en algunos aspectos, bastante contrario a la intuición, todo de la mano del incomparable Georg Cantor. ¿Preparado?

La aproximación de Cantor al infinito no fue a través de la geometría, como en el caso de Arquímedes, ni del cálculo infinitesimal de Newton y compañía, sino a través de la teoría de conjuntos. Antes de Cantor, la teoría de conjuntos era algo bastante primitivo, considerado en general como algo muy básico. Sí, había algunos flecos que eran bastante raros; en particular, los conjuntos de infinitos elementos, como los números naturales, suponían pegas. Ya vimos en el artículo anterior la de Galileo y su paradoja, en la que una parte de los naturales se correspondía con el todo, pero al mismo tiempo era menor que el todo, y eso se consideraba algo imposible. La solución hasta Cantor había sido la “fácil”, claro: no se puede comprender el infinito, la paradoja de Galileo muestra que no podemos aplicar la lógica a cosas tan raras… estos no son los droides que estás buscando.

Georg Cantor (1845-1918).

El principal problema que surge al considerar conjuntos infinitos, como le sucedía a Galileo, es que es imposible comparar sus tamaños contando elementos, ya que no puede alcanzarse a contarlos todos: de ahí que muchos considerasen que eran “infinitos” y punto final. Sin embargo, Cantor introduce un método de comparar tamaños de conjuntos –o cardinales de conjuntos, en términos de Cantor– que permite hacerlo de igual manera para conjuntos con un número finito o infinito de elementos. De acuerdo con Cantor –pero sin usar lenguaje matemático–, dos conjuntos son del mismo tamaño cuando es posible definir una relación de uno a uno entre ambos en la que ningún elemento se quede “sin pareja”.

La idea tras el razonamiento de Cantor es la siguiente: independientemente de que podamos contar los elementos en dos conjuntos o no podamos, si uno de ellos tiene más elementos que otro –mayor cardinal que el otro–, entonces no puede haber ninguna manera de hacer una relación de uno a uno entre ambos, sino que cualquier relación sistemática que podamos tratar de encontrar siempre dejará elementos “sueltos” en el conjunto más grande, mientras que si encontramos una relación que establezca parejas de modo que todos los elementos estén emparejados en ambos conjuntos, eso significará que ambos son igual de grandes.

Esto se comprende bien con un ejemplo sencillo. Por ejemplo, supongamos que tenemos dos conjuntos, A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6}. Si queremos saber si ambos son igual de grandes –aunque sea una tontería–, hay dos maneras de hacerlo. La manera clásica es simplemente contar: A tiene tres elementos y B tiene tres elementos, luego ambos conjuntos son del mismo tamaño. De perogrullo, ¿no? Hagámoslo ahora a la Cantor.

¿Podemos idear una regla que relacione cada elemento de A con cada elemento de B sin que ningún elemento se quede sin pareja en ninguno de los dos conjuntos? Sí, sin problemas. Basta con hacer algo así: a cada elemento x del conjunto A le sumamos 3, y así obtenemos su pareja en B (y para cada uno de B hacemos lo contrario, restar 3, para obtener su pareja en A). Así, el 2 se corresponde con 2+3 = 5, el 3 con 3+3 = 6, etc. De este modo existe una relación “de uno a uno” entre ambos conjuntos, lo que significa que son igual de grandes.

Evidentemente, la manera clásica es muchísimo más simple que la de Cantor de establecer relaciones entre ellos. ¿Por qué iba nadie a complicarse la vida y hacerlo así, en vez de simplemente contar? Pues sí, imagino que ya lo has adivinado – porque la de Cantor es una manera de una elegancia pasmosa para hacer lo mismo cuando no se puede contar. Una vez más, veámoslo con un ejemplo.

Supongamos que tenemos dos conjuntos infinitos; A = {1, 2, 3, 4, …}, donde una vez más los puntos suspensivos significan “y así para siempre”, con lo que A es el conjunto de todos los números naturales. Y pongamos que tenemos otro conjunto, B = {11, 12, 13, 14, …}, es decir, todos los números del once para arriba. ¿Cuál de los dos es más grande? ¿O son iguales? Son preguntas que no se pueden responder contando, claro está… pero, ¿y al modo de Cantor?

Si comprendiste el ejemplo anterior, verás que –aunque la intuición se queja, al menos en mi caso– ambos conjuntos tienen el mismo cardinal. Basta con decir que a cada elemento de A le sumamos 10 y tenemos su pareja en B (y lo contrario al revés). Dicho de otro modo – supongamos que tú afirmas que, “evidentemente”, A es más grande que B, ¡pues tiene todos los elementos de B y además tiene los números del 1 al 10 que B no tiene! Si tienes razón, deberías ser capaz de encontrar elementos en A que no tienen pareja en B… ¿pero qué elementos son esos? Si me dices que el 6, te diré que su pareja es el 16. Si me dices que el 2, te diré que su pareja es el 12. Y si me dices que para hacer esto estoy “desplazando” los números diez posiciones, con lo que “se me acabarán” las posiciones hacia el infinito al establecer la relación, te diré que no se me puede “acabar” nada… porque no hay límite de tamaño para los números. Si no lo has leído, tal vez te sea útil echar un vistazo al artículo sobre el Gran Hotel de Hilbert, en el que hablamos precisamente de esto.

Observa que este argumento resuelve así, de un plumazo, la paradoja de Galileo. Si nos fijamos en los números naturales {1, 2, 3, 4, …} y en los cuadrados de los números naturales {1, 4, 9, 16, …}, podemos utilizar el método de Cantor para comparar sus cardinales. Basta con olvidar por un momento eso de que “en el primer conjunto hay elementos que en el segundo no hay…”. Establezcamos una relación de uno a uno, para emparejar a todos. Esta vez no podemos sumar y restar como antes, pero tampoco hay que darle muchas vueltas a la cabeza por la propia definición de ambos conjuntos: a cada elemento del primero le corresponde en el segundo, como pareja, su cuadrado, y a cada elemento del segundo le corresponde, por lo tanto, la raíz cuadrada como pareja. Así, tenemos que 1 va con 1, 2 con 4, 3 con 9, etc. No hay ninguno que se quede solo en ninguno de los dos conjuntos, luego ambos tienen el mismo cardinal –dicho en cristiano, que me perdonen los matemáticos, son igual de grandes–.

No puedo evitar dar otro ejemplo más: los números enteros, es decir, positivos, negativos y el cero. A primera vista resulta completamente evidente –al menos, a mí– que hay muchos más enteros que naturales: al fin y al cabo, los naturales son sólo {1, 2, 3, 4, …} mientras que los enteros son todos los naturales y además {0, -1, -2, -3, -4, …}. Los enteros son, por así decirlo, “el doble de los naturales más uno”. Por lo tanto, parece imposible establecer una relación de pareja de uno a uno entre ellos… pero resulta que sí es posible. Basta con hacer lo siguiente:

Como puedes ver, todos los conjuntos infinitos que hemos visto en estos ejemplos tienen el mismo cardinal, que es el de los números naturales. De hecho, el “truco”, si se puede llamar así, es que siempre que puedas establecer alguna regla que ordene un conjunto de un modo sistemático, basta con poner en relación el primer elemento del conjunto ordenado con el número 1, el segundo con el 2, el tercero con el 3, y de ese modo demostrar que el cardinal de tu conjunto es idéntico al de los naturales.

De modo que Cantor se preguntó entonces si todos los conjuntos infinitos son “igual de grandes” que los números naturales o, dicho de otro modo, si existen diferentes grados de infinito o no. Se trata de algo parecido a lo que hicieron los jainistas unos milenios antes, pero en el caso de Cantor, de un modo sistemático y riguroso. El alemán se plantea un caso concreto: los números racionales, es decir, las fracciones de enteros, como 1/2, 276/452356 o 45245236/1. Una vez más, parece clarísimo que hay muchísimos más racionales que naturales, pero ¿es realmente así? ¿Es posible ordenar todas las posibles fracciones, de modo que podamos poner cada una en relación con la posición que ocupa, es decir, un número natural?

Aquí es donde, en mi opinión, el genio de Cantor brilla como una linterna… El alemán empieza por colocar todos los números racionales en una tabla, ya que todos ellos son, al fin y al cabo, parejas de enteros, uno en el numerador y otro en el denominador. Él lo hace con los racionales positivos pero, una vez más, ampliar a los negativos no supone ningún problema. Cantor los coloca de modo que cada fila tiene un mismo número natural en el numerador, y cada columna un mismo número en el denominador:

Puedes ver que, así, tenemos absolutamente todas las fracciones positivas; es más, algunas están repetidas, ya que 1/1 es lo mismo que 2/2, 3/3…, y algo parecido pasa con 1/2 y 2/4, 3/6, etc. Ahora bien, ¿podemos ordenar de modo sistemático estos números? La respuesta es que sí. Observa que la tabla se extiende infinitamente, pero empezamos en la esquina superior izquierda, y podemos ir recorriendo la tabla entera así:

Se ve mejor en este otro diagrama, más completo y en el que se muestran en rojo los números racionales repetidos que nos podemos saltar al ordenar:

Cronholm144/CC 3.0 Attribution-Sharealike License.

El conjunto de los racionales puede ordenarse, por tanto, como {1, 2, 1/2, 1/3, 3, 4, 3/2, 2/3, 1/4, …}. Y por lo tanto podemos establecer una relación de uno a uno con {1, 2, 3, 4, …}, de modo que cada número racional se corresponde con su orden en la lista de arriba. ¡Ay, lo que parecía un “infinito más grande” ha resultado ser, simplemente, el mismo de siempre! Pero Cantor no se detuvo ahí, por supuesto. Más allá de los racionales están los números reales, que incluyen cosas como el número pi o el número e, la raíz cuadrada de 2, y todos los demás números que tienen infinitas cifras decimales que no se repiten, y no pueden expresarse como fracciones de enteros. ¿Se trata de un conjunto más grande, o es una vez más “igual de infinito” que los anteriores?

No voy a dar aquí el primer argumento de Cantor de 1874, sino uno posterior de 1891 que es más bonito y fácil de entender (el llamado “argumento diagonal”), aunque sean equivalentes. Cantor intenta demostrar que existen conjuntos –como el de los números reales– que no sólo tienen cardinal infinito, sino que es mayor que el de los números naturales. Dicho de otro modo, existen conjuntos que no pueden ordenarse para ser contados poniéndolos en relación con los naturales: conjuntos incontables, en contraposición a conjuntos contables, como los racionales, aunque sean infinitos.

¿Podré expresar aquí la genialidad del alemán, que deja su logro anterior con los racionales como algo burdo en comparación? No, no podré, pero tengo que intentarlo, porque se me ponen los pelos de punta cada vez que lo veo. Cantor razona del siguiente modo: supongamos que los números reales sí pueden ser ordenados para ser contados, por el sistema que sea –es irrelevante–. Imaginemos que tenemos los infinitos números reales entre el 0 y el 1 ordenados en esa lista, por ejemplo (me invento los números, claro):

Fíjate que ni nos planteamos cómo hemos obtenido algo tan maravilloso como una lista ordenada de todos los números reales entre cero y uno, porque nos da igual: vamos a demostrar que nuestra lista ordenada no puede existir. Pero, por ahora, supongamos que hemos logrado esta maravilla: nuestra lista contiene absolutamente todos los infinitos números reales entre 0 y 1, y están perfectamente ordenados, con lo que su cardinal –de poderse ordenar así– es el de los números naturales. Pero aquí Cantor alza la ceja: “Sólo hay un problema”, susurra con malicia. “Esa lista no contiene todos los números reales… yo conozco uno que no está ahí.”

“Construyamos un número real”, dice el de San Petersburgo. Su primera cifra decimal es la primera cifra decimal del primer número de la lista, su segunda cifra decimal la del segundo número de la lista, la tercera es la tercera cifra decimal del tercer número, etc. En el dibujo de arriba, nuestro número sería el 0,181201… y tiene infinitas cifras decimales, ya que nuestra lista ordenada contiene infinitos números. Como puedes comprobar, nuestro número inventado coincide en una cifra decimal, al menos, con cada número de la lista (la primera con el primero, la segunda con el segundo, la tercera con el tercero, etc.). Desde luego, es incluso posible que coincida en todas sus cifras decimales con alguno de la lista, y de hecho esto sucederá necesariamente si, como afirmamos al principio, nuestra lista contiene todos los números reales entre 0 y 1. “Pero hagamos sólo una cosa más” , sugiere Cantor.

“Sumemos uno a cada cifra decimal del número inventado, de modo que el 1 se convierta en 2, el 2 en 3…, y el 9 en 0”. Nuestro número anterior será ahora, por tanto, 0,292312…, lo cual puede parecer poco interesante. Pero detengámonos a pensar un momento: antes, la primera cifra coincidía con la primera del primer elemento de la lista, pero como le hemos sumado uno, acabamos de garantizar que nuestro número no coincide con el primero de la lista, pues esa cifra decimal ya no coincide. Y lo mismo pasa con el segundo elemento: nuestro número no es ése, pues al menos en la segunda cifra decimal no coinciden. Y eso mismo pasa con absolutamente todos los elementos de la lista. Nuestro número es distinto de todos y cada uno de ellos al menos en una cifra decimal, porque así lo hemos construido – nuestro número no está en la lista.

¡Pero eso es imposible! Habíamos dicho que la lista contenía todos y cada uno de los infinitos números reales entre 0 y 1… lo cual, evidentemente, era mentira. Pero observa dónde está el quid de la cuestión: sólo hemos podido conseguir este número “fuera de la lista” porque la lista estaba ordenada, de modo que pudimos crear una regla para construir nuestro número diferente de todos los demás. Dicho de otra manera: los números reales no pueden ordenarse de ninguna manera y, por tanto, no pueden contarse utilizando los naturales. Su cardinal es infinito, pero “más infinito” que el de los naturales: es un infinito incontable.

Podríamos decir que el infinito de los naturales es un “infinito discreto”, y por esa razón contable, como una escalera con infinidad de escalones, mientras que el infinito de los reales es un “infinito continuo” y por tanto incontable, como los puntos en una recta. El “infinito continuo” es, de acuerdo con la demostración de Cantor, mayor que el “infinito discreto” de los naturales, y la profundidad de este hecho es, como digo, algo que no puedo expresar adecuadamente aquí.

De modo que, como con los jainistas, ya no era posible decir simplemente infinito como contraposición a finito: no era algo borroso y sin distinción como el apeiron, sino que existían diversos grados, no finitos, pero unos mayores que otros y que era posible ordenar. Cantor denominó a estos números más allá de los finitos números transfinitos; el más pequeño de todos ellos, el cardinal de los números naturales, fue llamado álef cero o aleph cero ( ℵ ₀) por la letra hebrea álef ( ℵ ), equivalente al alfa griega. Así, el cardinal de los números naturales y todos los otros conjuntos que hemos visto son del mismo tamaño que él es ℵ ₀. Cantor puso el subíndice 0 para así denotar otros transfinitos mayores: el siguiente transfinito mayor que ℵ ₀ sería ℵ ₁, luego ℵ ₂, etc. Y así, hasta… bueno, sí, hasta el infinito.

Claro está, el número ℵ ₀ no es un número al que se apliquen las mismas reglas que a los números finitos. Por ejemplo, hemos visto que ℵ ₀ + 10 = ℵ ₀ en uno de nuestros ejemplos, que 2 ℵ ₀ + 1 = ℵ ₀ en otro>… Así, si uno fuese friki, pero friki de verdad, podría cantar una canción como

ℵ ₀ elefantes

se balanceaban

sobre la tela de una araña,

como veían

que no se caían

fueron a llamar a otro elefante.

ℵ ₀ elefantes

se balanceaban…

y así, ad infinitum, nunca mejor dicho. Pero claro, los números reales no son ℵ ₀, sino que son más. Esto quiere decir que, si llamamos c al cardinal de los números reales –es decir, al “infinito continuo”–, c > ℵ ₀. La siguiente pregunta, entonces, es: si el infinito continuo es mayor que el discreto, ¿hay algún otro número transfinito entre ellos? Cantor era de la opinión de que no había ninguno: un conjunto de cardinal transfinito podía tener ℵ ₀ elementos o c elementos, pero nada entre medias –también podía tener, tal vez, más de c elementos, pero eso no es lo importante ahora–. Dicho de otro modo, Cantor sospechaba que c = ℵ ₁, es decir, el siguiente transfinito después de ℵ ₀.

Esta hipótesis de que no hay nada entre ℵ ₀ y c recibe el nombre de hipótesis del continuo, e incluso el incomparable Georg Cantor fue incapaz de demostrarla: era sólo una intuición. Gente de la talla de Kurt Gödel o Paul Cohen dedicaron sus mentes al problema tiempo después de la muerte de Cantor; Gödel, por ejemplo, demostró que con la teoría de conjuntos de la época no podía demostrarse que la hipótesis fuera falsa, mientras que Cohen demostró que con la teoría de conjuntos de la época no podía demostrarse que la hipótesis fuera verdadera, ¡toma castaña! De hecho, la hipótesis del continuo sigue siendo hoy en día un asunto controvertido y la cosa no está nada clara.

Existía además otra pregunta: suponiendo que, efectivamente, ℵ ₁ era el cardinal del continuo y el siguiente “escalón transfinito” después de ℵ ₀, ¿qué pasaba más allá? Cantor se preguntó si, del mismo modo que los puntos de una recta eran más –“transfinitamente hablando”– que los números naturales, los puntos de un plano eran más que los de una recta. Dicho de otro modo, si un infinito continuo de dos dimensiones es mayor que el de una dimensión. Ya vimos al principio del artículo que algunos matemáticos jainistas eran precisamente de esa opinión, y distinguían el “infinito de una dimensión” del de dos dimensiones, éste del de tres, etc. Cuando nuestro buen alemán se hizo la pregunta alrededor de 1874, sospechaba que la cosa era, efectivamente, así: al fin y al cabo, resulta evidente que hay infinitamente más puntos en un plano que en una recta.

Cantor se pasó casi toda la luna de miel pensando en esto –imagino que en las pausas que le permitiesen otras actividades incluso más placenteras– y discutiendo el asunto por carta con su amigo Richard Dedekind, también matemático. La luna de miel terminó, pero la respuesta seguía sin llegar, y tardó algunos años más; por fin, en 1878, el alemán obtuvo la solución al problema utilizando una vez más su bellísimo, elegante, maravilloso razonamiento del “emparejamiento” de elementos de ambos conjuntos uno a uno. Y la respuesta era justo la contraria a la que había sospechado.

Tomemos, por ejemplo, un cuadrado de lado 1. Los puntos de uno de sus lados son todos los números reales entre el 0 y el 1, que son tantos como todos los números reales, es decir, c –y, de acuerdo con la hipótesis del continuo, ℵ ₁, pero eso da igual ahora–. Si tomamos un punto cualquiera de la superficie del cuadrado, ese punto tiene dos coordenadas, x e y que, a su vez, son números reales entre el 0 y el 1. Por lo tanto, hay c puntos en el lado del cuadrado, pero hay c x c, es decir, c2 puntos en el cuadrado entero, que parecen ser muchos más… y sin embargo podemos emparejar cada uno de esos puntos del cuadrado con exactamente un punto del lado.

Para hacerlo, pensemos en un punto concreto del cuadrado, de coordenadas 0.598164761… (con infinitos decimales sin repetición, para hacerlo más difícil), y 0.214828299…:

Podemos asignar a ese punto un punto único del lado alternando los decimales: cogiendo el primer decimal de la coordenada x, el primero de la coordenada y, el segundo de la x, el segundo de la y, y el resultado será un número único del lado del cuadrado, en este caso 0.529184186248726919… Y al hacer esto ni un solo punto del cuadrado se quedará sin pareja en el lado: no hay más puntos en el cuadrado que en el lado, por más raro que esto resulte:

Tan raro es, tan contrario a la intuición, que en una carta a Dedekind, tras obtener el resultado, el propio Cantor dijo:

¡Lo veo, pero no lo creo!

La conclusión inmediata, por lo tanto, es que el infinito de dos dimensiones tiene el mismo cardinal que el de una dimensión. Pero claro, podemos hacer lo mismo con un cubo de tres dimensiones, un hipervolumen de cuatro, de cinco o de doscientas dimensiones, simplemente alternando más decimales antes de pasar al siguiente decimal de cada coordenada: cualquier continuo con un número finito de dimensiones es exactamente igual de grande que un segmento de recta. Nuestro Universo, al fin y al cabo, no parece ya tan grande, ¿verdad?

Por si te lo estás preguntando, sí, existen conjuntos mayores que c, aunque son bastante raros. El conjunto de todas las funciones matemáticas entre los números reales y los números reales es uno de ellos (curiosamente, no lo es el conjunto de todas las funciones continuas), como también lo es el conjunto de todos los posibles subconjuntos de los números reales. Sí, sí… muy raros. Tan raros que podríamos decir que, para casi cualquier cosa que podamos imaginar, existen dos infinitos: ℵ ₀ y c – ℵ ₁ si Cantor tenía razón–.

Ni qué decir tiene que las ideas de Cantor recibieron críticas por todas partes, como hemos dicho antes. Parte del problema, como ha sucedido otras veces en esta serie, estaba en que para muchos, religión, ciencia y matemáticas estaban entrelazadas: “tocar” el infinito de esta manera, asignar propiedades determinadas a diversos infinitos en vez de considerar que había un único infinito, El Infinito, incognoscible, absoluto, era inaceptable, pues ponía en cuestión la propia idea de Dios. Cantor mantuvo una intensa correspondencia con varios teólogos cristianos, entre ellos el Cardenal Johannes Franzelin, que consideraba que los números transfinitos no eran sino una forma de politeísmo. Georg llegó incluso a enviar una misiva al Papa León XIII para defender sus ideas –aunque, afortunadamente para él, los tiempos habían cambiado desde Galileo y no corría peligro de ningún tipo debido a sus posiciones matemáticas, de modo que no las defendía para salvar su carrera ni mucho menos su vida–.

Antes de que te surja la tentación de pensar en Cantor como un mártir de las Matemáticas y el pensamiento racional frente a los prejuicios religiosos, él mismo estaba lejos de considerar la pregunta sobre el infinito matemático y el concepto de Dios como asuntos completamente distintos, ¡ni mucho menos! No, el alemán considera que su estudio de los números transfinitos es un acercamiento a Dios, y que sus descubrimientos sobre ellos han sido inspirados precisamente por el Creador.

En cualquier caso, las objeciones de sus contemporáneos no eran puramente religiosas: muchos matemáticos de la época no estaban de acuerdo con él, y algunos sentían emociones realmente intensas al respecto. Al igual que su amigo Dedekind admiraba profundamente las ideas de Cantor, otros, como Leopold Kronecker, las aborrecían. Kronecker calificó a Cantor de “charlatán”, “renegado” y “corruptor de la juventud” por tratar el infinito como un número con propiedades que pueden compararse con las de otros. Claro está, Kronecker era bastante clasicón en sus ideas matemáticas; parece que una vez afirmó algo así como “Dios creó los números enteros; el resto es invención del hombre”, con lo que imagínate lo que pensaba del infinito, no digamos ya de los infinitos diversos de Cantor.

Pienso, y no soy el único que lo hace, que es importante no introducir jamás ningún concepto que no pueda ser definido completamente con un número finito de palabras. Sea cual sea el remedio que se adopte, podemos asegurarnos la alegría del médico que es llamado para atender un bello caso patológico.

El “caso patológico” al que se refería Poincaré eran, claro está, los números transfinitos de Cantor, cuya teoría el matemático y físico francés tildó de “enfermedad” de la que las Matemáticas serían algún día curadas. Y, a diferencia de Kronecker, que era un matemático capaz pero, en mi humilde e ignorante opinión, un tanto cerrado de miras, Poincaré era un individuo de una inteligencia absolutamente excepcional. Pero hablando de Henri Poincaré…

Para saber más (esp/ing cuando es posible):

• Infinito / Inifinity
• Georg Cantor / Georg Cantor
• Hipótesis del continuo / Continuum hypothesis
• A glimpse of Cantor’s Paradise