En el bloque de [Mecánica de fluidos I] nos encontramos estudiando las características básicas de líquidos y gases: cosas que tienen en común, diferencias entre ellos y propiedades fundamentales. En el último artículo rendimos honores a Arquímedes de Siracusa y hablamos largo y tendido de su principio. Hoy seguiremos explorando algunas consecuencias muy importantes de ese principio físico, especialmente las que tienen que ver con la capacidad de un cuerpo de hundirse o flotar, es decir, de la flotabilidad.

Pero antes, como siempre, la solución al último desafío del bloque.

Empuje y peso

En el capítulo anterior de la serie nos fijamos únicamente en una fuerza concreta, la clave del principio de Arquímedes: el empuje. Como vimos entonces, de lo único que depende esa fuerza es de la densidad del fluido y el volumen del cuerpo, además de la gravedad (que, en la Tierra, apenas cambia de unos lugares a otros).

Sin embargo, para predecir lo que le sucede a un cuerpo al sumergirlo en un fluido, el empuje sólo es una parte de la cuestión. Pueden existir otras fuerzas sobre el cuerpo y, de hecho, si existe empuje seguro que hay al menos una fuerza más: el peso del objeto.

De hecho, si recuerdas la analogía del balancín de la entrada anterior, resulta evidente que hay dos fuerzas, ya que hay dos cosas que tienden a bajar debido a la gravedad: el objeto real y el “objeto fantasma”, es decir, el fluido desalojado por el objeto. En el dibujo del balancín podríamos representarlo así:

En el artículo anterior nos centramos en la fuerza de la derecha: el peso del fluido desalojado, es decir, el empuje (a partir de ahora simplemente lo llamaré así, que es más corto). Sin embargo, hoy incluiremos la fuerza de la izquierda, es decir, el peso del objeto real, y compararemos ambas, pues es de la relación entre ellas de lo que depende qué le sucederá al objeto.

Dado que el empuje impulsa el objeto hacia arriba, también podríamos representar ambas fuerzas sobre el objeto real, que es quien nos importa de verdad, así:

Si te fijas, en ambos dibujos hemos representado todo simétrico: ambas fuerzas iguales, todo en equilibrio… en otras palabras, muy aburrido. Si echas un ojo a los datos de la solución del desafío de arriba verás que en muchas ocasiones la cosa es bien diferente: un ser humano como el del ejemplo sufre un empuje debido al aire que es muchísimo menor que su propio peso. Podríamos representar esa situación así:

¿Qué diferencia existe entre el caso simétrico de arriba y éste? Dicho mal y pronto, que en este caso gana el peso. Las dos fuerzas que sufre el objeto tienen sentidos opuestos: su propio peso lo empuja hacia abajo, ya que la Tierra lo atrae. Sin embargo, la Tierra también atrae al fluido que desaloja el objeto, pero para rellenar el espacio que ocupa ese objeto, el fluido debe empujarlo hacia arriba (de ahí el empuje).

De modo que para saber qué le sucede al objeto debemos preguntarnos cuál de las dos fuerzas es mayor: peso o empuje. Dicho de otro modo que tal vez sea más intuitivo, ¿quién pesa más, el objeto real o lo que pesaría si estuviera hecho de fluido? Si pesa más el objeto real, es decir, el peso es mayor que el empuje, el objeto se hundirá. Si sucede lo contrario, es decir, si el fluido que ocuparía ese volumen es más pesado que el objeto, el empuje será mayor que el peso y el objeto flotará.

Pero podemos reducir esta pregunta a algo incluso más simple. Como vimos en el artículo anterior, el empuje depende simplemente de la densidad del fluido y el volumen del cuerpo (dejemos la gravedad a un lado porque es la misma para todo el mundo). Pero ¿de qué depende el peso del objeto? De su masa, es decir, de su volumen y su densidad.

No hace falta hacer una sola fórmula matemática para ver la conclusión inevitable de este razonamiento: el volumen del objeto es el mismo en ambos casos. El objeto real y el “objeto fantasma” hecho de fluido tienen el mismo volumen. Lo único que puede diferenciar ambas fuerzas –peso y empuje– es, por tanto, la densidad. Si el objeto es más denso que el fluido se hundirá, y en caso contrario flotará.

Expresemos esto de manera “oficial”, pues es una conclusión importantísima:

Un objeto sumergido en un fluido se hunde si su densidad es mayor que la del fluido y flota si su densidad es menor que la del fluido.

Moneda de una libra flotando en mercurio (Alby / Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 License).

De ahí que nosotros nos hundamos en el aire (sé que esto suena raro, pero eso es básicamente lo que sucede): nuestra densidad es unas ochocientas veces mayor que la del aire, de modo que nuestro peso “gana” con mucho al empuje que ejerce el aire sobre nosotros. Por el contrario, un globo de helio pesa menos que el volumen de aire que desaloja, luego el empuje supera al peso y el globo asciende, lo mismo que un trozo de corcho bajo el agua.

Es posible modificar, por lo tanto, el equilibrio entre peso y empuje cambiando la densidad del objeto (cambiar la del fluido que lo rodea es más difícil). Puesto que, como hemos visto anteriormente, la densidad es la masa por unidad de volumen, es posible modificar el equilibrio cambiando una cosa o la otra – la masa o el volumen.

Como ejemplo del primer caso puedes pensar en el lastre de los globos aerostáticos: al dejar caer los sacos de arena del globo, su volumen cambia muy poco –pues no son sacos muy grandes– pero la masa cambia mucho, ya que son pesados. La masa del globo disminuye bastante, con lo que su densidad también lo hace y el equilibrio cambia a favor del empuje. Lo mismo sucede cuando un buceador se desprende de su cinturón de plomo – la densidad del buceador disminuye, con lo que el equilibrio también se modifica a favor del empuje, ayudándolo a subir.

Como ejemplo del segundo caso –y estoy seguro de que lo has hecho de niño alguna vez–, cuando estás en la piscina y sueltas todo el aire de los pulmones, tu volumen disminuye y te hundes fácilmente. Lo difícil, claro está, es hacer luego lo contrario e hinchar el pecho de nuevo bajo el agua, porque no tienes una fuente de aire con la que hinchar los pulmones.

Los buceadores también pueden hacer algo parecido, pero ellos tienen una ventaja: puesto que tienen una fuente de aire comprimido, pueden hinchar sus pulmones con ella, o hinchar un chaleco con aire con el mismo efecto. En cualquier caso, el fondo de la cuestión es el mismo: la modificación del volumen de un objeto para así cambiar su densidad, de modo que el “equilibrio del balancín” (peso-empuje) se desplace hacia donde deseamos.

Flotación en superficie

Podemos imaginar, con todo esto, que un objeto de densidad 1 500 kg/m³, al ser sumergido en agua de densidad 1 000 kg/m³, se hunde. En un bloque superior combinaremos esta idea con las leyes de Newton para saber incluso cómo de rápido se hunde, pero eso ahora no nos importa demasiado. Por el momento me basta con que tengas claro que se hunde, que lo hace más deprisa que otro objeto con densidad 1 200 kg/m³ y que si estuviera en un fluido de densidad 1 700 kg/m³ no se hundiría.

Si las densidades son muy parecidas –en términos del balancín, si está muy equilibrado– apenas hay una fuerza neta en un sentido u otro. Pero lo más interesante de todo es lo que sucede si quien “gana” es el empuje, es decir, si el objeto es menos denso que el fluido que lo rodea.

La razón es que, si el objeto es más denso, entonces si nada lo impide llegará al fondo del fluido y punto final, pero si es menos denso que el fluido ascenderá hasta que… hasta que pase algo. Ese algo depende básicamente de la naturaleza del fluido: ¿es compresible o no?

Si se trata de un gas o un plasma, según el cuerpo ascienda la densidad del fluido irá disminuyendo, ya que es tanto más denso cuanto mayor es la presión, de modo que en el fondo lo es mucho más que a una gran distancia sobre él. Dicho de otro modo, según flotas hacia arriba en el fluido éste se va haciendo más y más tenue.

Por lo tanto, si has comprendido lo anterior, sabes lo que pasará: inevitablemente alcanzaremos una región en la que la densidad del fluido será tan pequeña como la del cuerpo, y más arriba la densidad del fluido será aún menor que la del cuerpo, con lo que el objeto flota por debajo de esa línea y se hunde por encima. ¿Qué sucederá al final? Que el cuerpo se quedará en equilibrio justo a ese nivel: al nivel en el que su propia densidad es igual que la del fluido.

Si el fluido, por el contrario, es un líquido –es decir, es incompresible– la cosa cambia. Un líquido no se va haciendo más tenue según asciendes, sino que existe una superficie de separación con lo que hay por encima. El objeto subirá según flota en el líquido hasta alcanzar esa superficie, y entonces pasará algo interesante y que requiere detenernos a pensar juntos.

Imagina que nuestro objeto está sumergido en el agua y tiene la mitad de densidad que ella, 500 kg/m³ comparados con los 1 000 kg/m³ del agua. Si has comprendido todo lo anterior tienes claro que nuestro objeto –por ejemplo una pelota– flota, ya que el empuje es mayor que el peso: la pelota pesaría más si estuviera hecha de agua.

Pero ahora debemos ir un poco más allá para comprender lo que pasa después. No basta con tener claro que el empuje es mayor que el peso: el empuje es el doble que el peso. Si nuestra pelota estuviera hecha de agua no sólo sabemos que pesaría más de lo que pesa: pesaría el doble. Se trata de un simple ejemplo, pero debes tener esto claro para seguir el razonamiento.

Éste sería, por tanto, el instante en el que la pelota toca la superficie:

Hasta ahora todo es igual que antes. Puesto que el empuje es mayor que el peso, la pelota sigue subiendo, pero entonces sucede algo diferente a lo anterior: parte de la pelota está fuera del agua. Por ejemplo, en un momento determinado supongamos que un tercio de la pelota está por encima de la superficie. Pensemos sobre lo que esto significa.

De las dos fuerzas que sufre la pelota, una sigue siendo exactamente igual: su peso no cambia, ya que la pelota es la misma de siempre y su masa es igual. Pero el empuje ya no es el mismo. Dado que el empuje es el peso del agua que desaloja la pelota y parte de ella está fuera del agua, el volumen de agua desalojado ya no es el de la pelota, sino que es menor. De hecho, en este ejemplo concreto en el que 1/3 de la pelota ha salido del agua, el volumen desalojado es 2/3 del volumen original de la pelota.

Por lo tanto, el empuje será ahora 2/3 de lo que era cuando toda la pelota estaba bajo el agua. Esto no quiere decir que la pelota deje de subir: antes el empuje era el doble que el peso, ahora es 2/3 del doble del peso, es decir, sigue siendo 4/3 veces el peso. Pero, aunque la pelota siga subiendo, ahora está más cerca del equilibrio.

Puedes incluso imaginarlo poco a poco: cuando la parte superior de la pelota empieza a asomar por encima del agua, el empuje disminuye un poquitín (tanto como pelota hay fuera del agua). Poco a poco la pelota sigue subiendo, pero cada vez con menos impulso, ya que cada fracción de pelota que emerge del agua ya no contribuye al empuje, pues no desaloja fluido.

Una vez más es inevitable que suceda algo: que en un momento dado el empuje disminuya hasta ser igual al peso. Cuándo sucederá esto depende, por supuesto, de las densidades de pelota y agua. En nuestro ejemplo, dado que la pelota tiene la mitad de densidad que el agua, cuando la mitad de la pelota esté bajo el agua y la mitad por encima, las dos fuerzas se equilibrarán. Dicho de otra manera: media pelota de agua pesa igual que toda la pelota de verdad.

En ese momento la pelota estará en equilibrio. En la realidad, aunque esté en equilibrio, tiene velocidad hacia arriba por el empuje anterior, con lo que seguirá subiendo un poco, pero luego bajará y realizará unas cuantas oscilaciones arriba y abajo hasta quedar finalmente en reposo. Lo que importa es que, cuando lo haga, la mitad de la pelota estará por debajo del agua y la mitad por encima.

¿Qué hubiera sucedido si las densidades hubieran sido distintas? Imaginemos dos casos extremos.

Si la densidad de la pelota hubiera sido minúscula, digamos que el 1% de la densidad del agua, entonces una cantidad minúscula de agua pesaría lo mismo que toda la pelota entera. De manera más concreta, dada la proporción de que estamos hablando, un 1% del volumen de la pelota hecho de agua pesaría lo mismo que el 100% de pelota real. Por tanto, cuando se alcanzase el equilibrio un 1% de la pelota estaría sumergido bajo el agua y un 99% sobresaldría por encima del nivel del líquido.

Pero un caso más interesante es el contrario: el de un objeto con una densidad menor que la del agua pero casi igual. En ese caso hace falta que casi todo el volumen del objeto esté sumergido para equilibrar el peso con el empuje. Un ejemplo fundamental de esto es el del hielo en el agua, ya que la densidad típica del hielo es de unos 920 kg/m³, es decir, prácticamente la del agua, ¡pero no exactamente igual!

Iceberg (no he conseguido encontrar la fuente última ni términos de licencia, descargado de wired.com).

El caso más espectacular de esto es el de los icebergs, enormes bloques de hielo flotando en el mar. El agua de mar, al contener sales disueltas, tiene una densidad algo mayor que el agua dulce: unos 1 025 kg/m³. Si comparamos ambas densidades (920 y 1025 kg/m³), la del hielo es prácticamente el 90% de la del agua. Esto significa que alrededor del 90% del volumen del iceberg estará bajo el agua y tan sólo el 10% por encima, ya que –una vez más– un 90% del iceberg hecho de agua pesa lo mismo que el iceberg entero hecho de hielo.

De manera que ya sabemos qué le sucederá a un objeto menos denso que el fluido que lo rodea, ya sea líquido o no: terminará encontrando una posición de equilibrio o bien porque la densidad circundante sea igual que la suya o porque sólo una parte de su volumen continúa sumergida en el fluido. Pero la cosa no acaba aquí.

Objetos heterogéneos

Si nuestros barcos fueran esferas homogéneas, como las vacas ((Al menos, las vacas en los problemas de Física.)), no habría más que hablar. De lo único que tendrían que preocuparse nuestros ingenieros, para asegurarse de que los barcos están bien diseñados, es de que su densidad sea menor que la del agua para que no se hundan. Pero la cosa es algo más complicada y, como siempre, es mejor atacar el problema con un ejemplo algo extremo que debería hacer evidente a lo que me refiero.

Imaginemos una pelota como la de antes, cuya densidad es menor que la del agua de manera que flota. Pero supongamos que la pelota no es homogénea, sino que está formada por dos semiesferas pegadas: una está hecha de madera y la otra de plomo. Desde luego, la de plomo por sí misma se hundiría, pero la densidad total de la pelota de nuestro ejemplo es menor que la del agua; por poner datos concretos, digamos que es 2/3 de la densidad del agua.

Nuestra pelota, por lo tanto, flota, y parte de su volumen total estará fuera del agua y parte dentro de ella (no hace falta que repita cuánto por encima y cuánto por debajo). Pero estoy absolutamente convencido de que, al mirar el diagrama, te estarás dando cuenta de algo: la pelota no sólo va a ascender, sino que además va a rotar.

Como hemos visto antes, nuestra pelota sufre dos fuerzas: su propio peso y el empuje que ejerce el agua sobre ella. Estas dos fuerzas no son iguales en magnitud (el empuje es mayor que el peso, puesto que nuestra pelota es menos densa que el agua), pero lo que es más importante ahora mismo es la segunda diferencia – las dos fuerzas no son ejercidas sobre el mismo punto.

El empuje, dado que es ejercido porque el espacio que ocupa la pelota no puede ser ocupado por el agua, aparece aplicado sobre el centro geométrico de la pelota. Es decir, está exactamente en el mismo sitio que estaba en ejemplos anteriores, cuando nuestra pelota era homogénea. El cambio ahora no está en el empuje, sino en el peso.

El peso de la pelota es ejercido sobre el centro de gravedad (o centro de masa) de la pelota. Aunque éste es un concepto más largo de explicar de lo que me permite este artículo, creo que es suficientemente intuitivo como para utilizarlo aquí: dado que una mitad de la pelota (la de plomo) es más densa que la otra (la de madera), si pensamos en un punto en el que estuviera concentrada toda la masa de la pelota, ese punto no sería el centro geométrico de la esfera, sino que estaría desplazado hacia el plomo.

La imagen de peso y empuje, por lo tanto, sería algo así:

Si imaginas que ambas fuerzas representan cuerdas de las que tiras tú mismo con la mano, puedes comprender lo que va a pasar: con una mano tiras hacia arriba donde está el empuje, con la otra hacia abajo donde está el peso. Por el hecho de que tiras hacia arriba con más fuerza que hacia abajo –el empuje es mayor que el peso– la pelota irá subiendo hacia la superficie. Por el hecho de que tiras hacia arriba en un punto situado a la izquierda del lugar en el que tiras hacia abajo, la pelota irá girando sobre su eje en el sentido de las agujas del reloj.

De manera que no sólo sabemos que la pelota terminará flotando con parte de su volumen por encima del nivel del agua, sino que además sabemos cómo estará colocada, puesto que esa rotación terminará cuando se alcance una posición de equilibrio estable, que será la siguiente:

Si algo hiciese girar la pelota de modo que no estuviera como en este diagrama, las dos fuerzas ya no estarían alineadas como ahora, sino que estaríamos en un caso más similar al del dibujo anterior: la pelota, por tanto, volvería a enderezarse hasta quedar como está ahora.

Otra manera de ver esto sin usar el centro de gravedad es la siguiente: pensemos en la pelota no como un objeto, sino como dos objetos pegados, ambos homogéneos. Las dos mitades sufren un empuje idéntico (pues tienen el mismo tamaño), pero los pesos no son iguales – el peso de la mitad de plomo es mayor que el peso de la mitad de madera.

La madera tenderá a flotar y el plomo a hundirse, de modo que lo que sucede es que la mitad de madera sube y tiene “colgada” la mitad de plomo, que no tiene la suficiente densidad para arrastrar toda la pelota al fondo, sino que “pierde” frente a la madera. El resultado final, que es el diagrama de arriba, no es más que un trozo de madera flotando con otro de plomo colgando de él. Utiliza la manera de pensar que más intuitiva te resulte, porque da exactamente igual.

Lo esencial de todo esto es que como puedes ver, al diseñar un barco no sólo importa que su densidad sea menor que la del agua, también importa cómo está distribuida la masa en todo el barco. La razón es, por supuesto, que no sólo queremos que el barco flote: queremos que el barco flote boca arriba. Cuanto más separados estén los puntos de aplicación de peso y empuje –dicho en otros términos, cuanto más abajo esté el centro de gravedad del barco– más intensa será la rotación que hemos mencionado y más difícil será que una ola haga que el barco se gire demasiado hacia un lado y termine dándose la vuelta o llenándose de agua por los lados.

En otras palabras, cuanto más abajo esté el centro de gravedad más estable es el equilibrio del barco. Si la diferencia es suficientemente grande, incluso si por alguna razón el barco se da la vuelta es mucho más fácil enderezarlo de nuevo, porque el giro producido por peso y empuje lo endereza por sí mismo. Si de niño jugaste con el barco pirata de Playmobil, seguro que recuerdas la barra metálica que tenía dentro a lo largo del fondo del casco: ¡ésta era la razón!

Ideas clave

Para continuar el bloque con garantías deberían haberte quedado bien claras las siguientes ideas fundamentales:

• Además del empuje, un cuerpo sumergido en un fluido también sufre su propio peso como fuerza hacia abajo.

• Que un cuerpo flote o se hunda depende de los valores relativos de peso y empuje.

• Dado que tanto uno como otro dependen de las densidades respectivas de cuerpo y fluido, si el objeto es más denso que el fluido se hundirá, y si es menos denso flotará.

• Un cuerpo menos denso que un gas o plasma subirá hasta alcanzar la región en la que la densidad del fluido iguala la suya propia.

• Un cuerpo menos denso que un líquido subirá a la superficie y dejará bajo ella una parte de su volumen que será la misma fracción del total que la densidad del objeto es de la densidad del fluido.

• Un cuerpo heterogéneo sufre empuje y peso en puntos distintos, con lo que girará además de trasladarse.

• Cuanto más abajo esté el centro de gravedad del objeto, más estable será su equilibrio de rotación al flotar.

Hasta la próxima…

Hoy os dejo con otro experimento curioso y creo que revelador, más divertido –como siempre– si se realiza con algún niño. Lo bueno de este experimento es que apenas hacen falta materiales y, de hecho, tal vez ya hayas percibido este efecto por pura casualidad.