Hemos llegado, esta vez sí, al final del bloque [Mecánica de fluidos I]. A lo largo de sus diez capítulos hemos aprendido sobre el concepto de fluido y sus diferentes tipos (líquidos, gases y plasmas), hemos estudiado la presión y conceptos asociados –principio fundamental de la hidrostática y presión atmosférica–, hemos hablado del principio de Arquímedes y la flotabilidad y, finalmente, hemos metido el morro en asuntos más peliagudos como la tensión superficial y la viscosidad. Para terminar el bloque hablaremos acerca de otro asunto difícil pero interesante: la turbulencia.

No digo en broma que es difícil, y repito lo que dije cuando hablamos de viscosidad: aquí sólo podemos dar una idea cualitativa del asunto porque es endiabladamente difícil, y me empeño en hablar de turbulencia porque, como en el caso de la viscosidad, este bloque no quedaría redondo sin proporcionar una explicación básica sobre su origen y consecuencias. Para que te hagas una idea de lo puñetero del asunto, Sir Horace Lamb, matemático y físico de la segunda mitad del XIX y primera del XX, en un discurso ante la British Association for the Advancement of Science en 1934, dijo lo siguiente (que también ha sido atribuido con palabras diferentes a Werner Heisenberg):

Soy ya un hombre viejo, y cuando muera y vaya al Cielo hay dos asuntos que espero entender por fin. Uno de ellos es la electrodinámica cuántica y el otro es el flujo turbulento de los fluidos. Soy bastante optimista sobre el primero.

De modo que, empapados de la positiva actitud de Lamb, hablemos sobre el segundo asunto.

Las ecuaciones de Navier-Stokes

Como dijimos en la introducción al bloque, nos llevó varios siglos alcanzar algo en mecánica de fluidos que fuese más o menos equivalente a la mecánica de los cuerpos sólidos por la complicación inherente a los fluidos: el movimiento independiente de sus partes y las interacciones entre ellas. De hecho nunca hemos conseguido algo realmente igual y, como veremos en un momento, aún existen grandes preguntas acerca de esta parte de la física.

Claude-Louis Navier (1785-1836) y George Stokes (1819-1903).

Fueron dos científicos e ingenieros del siglo XIX, uno francés y el otro británico, quienes lograron el objetivo de obtener una ecuación que nos permitiera predecir el comportamiento de un fluido teniendo en cuenta interacciones entre partículas y fuerzas externas. Se trataba de Claude-Louis Navier por un lado y George Stokes por otro, aunque no trabajaron juntos ni siquiera al mismo tiempo: Stokes se basó en las ideas del francés y las expandió y refinó hasta llegar a una ecuación bellísima y endiablada que examinaremos en un bloque superior: no nos interesa ahora mismo cómo es matemáticamente sino qué describe y cómo lo hace.

En primer lugar, el nombre de ecuaciones de Navier-Stokes en vez de simplemente ecuación es un poco tonto en mi opinión, pero como es el habitual así he titulado esta sección. El caso es que la ecuación estudia las tres dimensiones del espacio, con lo que es posible escribirla como tres ecuaciones diferentes, una para cada dimensión espacial.

Se trata, como digo, de algo bellísimo pero también endiablado, y quiero explicar brevemente esta doble naturaleza. La belleza está, como suele pasar en Física, en la capacidad de describir de manera matemáticamente concisa un comportamiento muy complejo –lo mismo que sucede con las ecuaciones de Maxwell–. La resolución de esta ecuación para unas condiciones determinadas permite predecir la velocidad del fluido en cada punto: algo maravilloso.

El carácter endiablado de la ecuación se debe al hecho de que no es posible resolverla en casi ningún caso de manera exacta. El problema se debe, desgraciadamente, a la propia naturaleza de los fluidos, de modo que es inevitable. A ver si consigo explicarlo sin liarme demasiado.

Imaginemos que las condiciones del fluido cambian en cierta región y de determinada manera. Las partículas que allí se encuentren, por lo tanto, modificarán su comportamiento, por ejemplo su velocidad. Pero claro, al moverse a otras regiones del fluido y mezclarse con otras partículas que allí se encuentran –algo que nunca pasaría en un sólido– modifican a su vez el comportamiento de las otras. En consecuencia, las otras se mueven de una manera diferente a cómo lo hubieran hecho de no haber recibido la influencia de las recién llegadas, y al moverse de modo distinto afectan a otras partículas que, a su vez…

Dicho de otro modo: cualquier modificación en las condiciones de una parte del fluido hace que cambie el comportamiento de otras zonas, que a su vez vuelven a influir sobre las primeras. Es como si la ecuación se alterase a sí misma todo el tiempo, algo que matemáticamente se describe diciendo que la ecuación de Navier-Stokes es una ecuación no lineal. Es posible que todo esto te suene del artículo de la teoría del caos, porque ambas cosas tienen mucho que ver, por supuesto.

Conocidas las condiciones del problema y la velocidad inicial en cada punto del fluido, las ecuaciones de Navier-Stokes nos permiten saber cómo va a evolucionar el sistema, es decir, qué le va a pasar en el instante de tiempo siguiente. Pero si lo que intentamos predecir es qué va a pasar no dentro de un instante sino dentro de diez minutos, la cosa se complica mucho. En otras palabras, no es posible –salvo que sea un caso extraordinariamente simple– extraer de esta ecuación una fórmula en la que podamos introducir el tiempo y obtener así el estado del fluido.

Lo que sí es posible es usarla “poco a poco”: calcular cómo van a estar las cosas dentro de un tiempo muy corto. Luego, tomar el estado del fluido en ese momento como el nuevo punto de partida y calcular lo que va a pasar el siguiente instante de tiempo, y así llegar hasta donde nos haga falta. Pero claro, esto no es una solución como Dios manda (no es una solución analítica) y cualquier pequeño error en cualquier paso o en la medición de las condiciones iniciales hace que todo se vaya al garete en unas pocas iteraciones del proceso. ¡Ay, las ecuaciones no lineales!

Tan tremendo es el problema que aún no tenemos respuestas para algunas cosas generales relacionadas con él. Aunque esto suene un poco rimbombante, nadie ha demostrado hasta ahora que en tres dimensiones siempre exista una solución para ellas, y que si existe esa solución no tenga ninguna singularidad (algún punto en el que algo sea infinito). El Clay Institute de matemáticas ofrece un premio de un millón de dólares si eres capaz de demostrar cualquiera de las dos cosas –en un sentido o el contrario, por supuesto–. ¡Suerte!

Dado que resolverla, así en general, es una pesadilla como pocas, desde muy pronto los científicos intentaron encontrar casos especiales en los que, por unas razones u otras, sí existieran soluciones razonables. Y en este caso, aunque podría parecer una contradicción, una de las “complicaciones” de las que hemos hablado antes –la viscosidad– es ahora nuestra aliada, ya que en cierto modo se opone a la otra complicación –el carácter no lineal de la ecuación de Navier-Stokes– y a veces nos salva de ella.

Número de Reynolds

Digo que podría parecer una contradicción que la viscosidad nos ayude, pero si has asimilado el capítulo dedicado a ese concepto es muy posible que comprendas por qué no es así. Como vimos entonces, un fluido de una viscosidad gigantesca se convertiría en un sólido, ya que todo movimiento de una parte del fluido se extendería a todo él, con lo que no habría modificación en las posiciones relativas de cada parte del fluido.

Pero claro, dado que la complicación fundamental de los fluidos reales es el hecho de que unas partes fluyen respecto a otras y modifican las condiciones en otras regiones del fluido, en este caso la viscosidad es nuestra aliada: al fin y al cabo Newton tuvo muy pocos problemas para aplicar la mecánica a los sólidos, que no son más que “fluidos infinitamente viscosos”. Por lo tanto, en general, cuanto más viscoso es un fluido menos se nota el carácter no lineal y más digerible es la ecuación. Pero claro, si nos vamos al extremo de viscosidad infinita, la propia ecuación es una tontería, porque no estaríamos hablando de un fluido ni tendría el menor sentido usarla.

Por lo tanto no tardamos mucho –el propio Stokes fue el primero en jugar con esto– en intentar encontrar un límite a partir del cual la viscosidad es suficiente como para tener un comportamiento aceptable. Pero ¿qué quiere decir que la viscosidad es suficiente? ¿Suficiente comparada con qué?

Para responder a la pregunta no hay más que recordar el efecto de la viscosidad: igualar velocidades dentro del fluido. Por lo tanto, un fluido cuyas partes se mueven muy rápido unas respecto a otras o respecto a las paredes que lo encierran –o los objetos sumergidos en él– necesita ser más viscoso para evitar los efectos no lineales, mientras que un fluido cuyas partes se muevan muy despacio unas frente a otras puede disipar los efectos no lineales con una viscosidad discreta. Por lo tanto cuánta viscosidad es necesaria para tener un flujo “ordenado y razonable” y una ecuación resoluble depende de factores como la velocidad relativa del fluido.

Como digo Stokes fue el primero en estimar este límite, pero quien lo extendió y asentó de veras fue el norirlandés Osborne Reynolds a finales del siglo XIX. Reynolds definió una magnitud que venía a comparar los efectos debidos a las diferencias de velocidad entre partes del fluido y otros objetos con los efectos de la viscosidad. Si el resultado que se obtenía era grande –dominaba la inercia–, el flujo era desordenado y terrible; si era pequeño –dominaba la viscosidad– entonces el flujo era ordenado y digerible. En su honor, esta magnitud sigue recibiendo hoy en día el nombre de número de Reynolds, y físicos e ingenieros suelen calcularlo para decidir si el comportamiento del fluido es ordenado o desordenado.

Pero claro, físicos e ingenieros son bastante más pomposos que todo esto, con lo que suelen dar a esos dos tipos de comportamiento nombres más petulantes. Cuando el número de Reynolds es pequeño y la viscosidad es capaz de mantener el orden se dice que el flujo es laminar, mientras que si no es capaz de hacerlo o bien porque el fluido es muy poco viscoso o bien porque las velocidades relativas son demasiado violentas se dice que el flujo es turbulento.

Flujo laminar

Cuando la viscosidad domina a la inercia, el fluido se mueve de un modo fácilmente predecible: o bien la velocidad relativa entre partes adyacentes del fluido es muy pequeña, o bien no lo es pero la viscosidad es suficientemente grande para disipar esas grandes diferencias rápidamente y hacerlas pequeñas. El resultado es que el fluido se mueve como si fuera un conjunto de capas muy finas y paralelas, algo así como cartas en una baraja que pueden deslizarse suavemente unas sobre otras: de ahí el nombre de flujo laminar.

Si piensas en la descripción que dimos en el artículo de la viscosidad, aunque no dijéramos nada allí, estábamos hablando de un flujo laminar: capas que se movían unas sobre otras. Pero tu mente está ahora lista para ir más allá, y eso haremos dentro de un momento.

Recuerda, por cierto, que el flujo laminar no requiere que el fluido se mueva lentamente, sino que la velocidad relativa entre unas partes y otras –o entre unas partes del fluido y lo que haya fuera, o lo que haya dentro si hay objetos sumergidos– cumpla la condición de arriba respecto a la viscosidad. Sin embargo, dado que casi todos los fluidos están en contacto con algo, suele suceder que es difícil hacer que un fluido se mueva rápido y mantenga su flujo laminar.

Transición de flujo laminar (antes de llegar al ala) a turbulento (justo detrás del ala) (University of Arizona).

Recuerda también que el carácter no lineal del comportamiento de los fluidos hace que si observas la evolución de un flujo laminar durante el suficiente tiempo, los efectos que despreciamos al considerarlo laminar se van acumulando y llega un momento en el que se hace evidente que no lo es: se convierte en turbulento. En muchos casos no percibimos esto, pero seguro que lo has notado en el caso del humo de un cigarrillo. Las partículas de humo son transportadas por el aire caliente, que se mueve respecto al aire circundante – no lo hace muy deprisa de modo que, a pesar de que el aire es muy poco viscoso, el flujo se puede considerar laminar… durante un tiempo. Finalmente se hace obvio el carácter turbulento del flujo, aunque cuánto tiempo pasa depende de muchos factores (como puedes comprobar si soplas sobre el humo, por ejemplo).

Humphrey Bogart junto a un flujo laminar que se torna turbulento.

Cuando el flujo puede considerarse laminar, las cosas son fáciles de predecir pero poco interesantes. Afortunadamente para algunos y desgraciadamente para otros, las cosas suelen volverse interesantes en cuanto algo perturba el flujo laminar y produce interacciones entre capas que la viscosidad no es capaz de suavizar. Se tiene entonces un flujo turbulento.

Flujo turbulento

El carácter no lineal de la ecuación de Navier-Stokes se hace evidente pensando en un ejemplo simple. Que me disculpen físicos e ingenieros que consideren que la siguiente explicación es burda y simplista: lo es. C’est la vie. No sólo es simplista sino que, incluso siéndolo, requiere que cuando la leas le eches un poco de imaginación al asunto, porque soy consciente de que no voy más allá de vaguedades.

Imagina un fluido que se mueve ordenadamente, en un régimen laminar, de izquierda a derecha. Todo es predecible y aburrido. Pero, en un momento dado, algo perturba el movimiento de una partícula del fluido, haciendo que se mueva un poquito más deprisa que las circundantes, o que se desvíe un poco hacia abajo. En el mundo real es cuestión de tiempo que esto suceda en prácticamente cualquier fluido en movimiento respecto a su entorno, o que contiene un objeto en movimiento respecto a él.

Al modificar su trayectoria o velocidad, la partícula altera la trayectoria de las otras contra las que se enfrenta a consecuencia de ello: choca con ellas, les proporciona energía que ella misma pierde durante el choque y crea una especie de “núcleo de rebeldía” contra el orden del flujo laminar. Ese núcleo de rebeldía suele convertirse en una especie de torbellino o –dicho en “fino”– un vórtice. Estos vórtices constituyen grupos de partículas que, en mayor o menor medida, han adoptado el movimiento de la partícula “rebelde”.

¡Pero ellos también pueden sufrir el mismo destino que el flujo original! Si un grupo de partículas ha adquirido cierto movimiento respecto a la masa, siempre puede ser que una de ellas a su vez presente una diferencia, tarde o temprano, con el resto de rebeldes: y cuando eso pasa, puede formar su propio vórtice. La mecánica de fluidos y la política son a veces así de similares.

Flujo turbulento en un fluido (C. Fukushima y J. Westerweel, Universidad Técnica de Delft/ Creative Commons Attribution 3.0 License).

También es inevitable que, si se forman varios de estos vórtices –y, si la viscosidad no es suficiente, se formarán– algunos de ellos se encuentren unos con otros. Al hacerlo, la velocidad relativa entre unos y otros puede ser bastante grande, con lo que el flujo se convierte en aún más turbulento. En poco tiempo aquello se convierte en un infierno impredecible en la práctica que en nada se parece al flujo laminar, aunque al mismo tiempo es mucho más bello e interesante.

La belleza suele serlo, para el ser humano, porque combina orden y desorden: percibimos belleza porque hay patrones que podemos reconocer, pero si esos patrones simplemente se repiten no nos parecen bellos. Ahora bien, si hay un patrón que presenta alteraciones de modo que no se repite exactamente, a menudo lo encontramos bello. Esto pasa a menudo en el caso de la turbulencia. Por ejemplo, imagina un flujo laminar que se encuentra con un obstáculo. El fluido rodea el obstáculo pero, si la velocidad respecto a él es grande –o la viscosidad pequeña, ya, ya…– entonces detrás del obstáculo el fluido que pasó por un lado puede interaccionar con el que pasó por el otro y formar turbulencia.

Pero no es puro desorden: una parte que viene de arriba choca con la que pasó por debajo, y ambas intercambian velocidad. Algunas terminan volviendo a subir, otras a bajar, y al encontrarse con el flujo laminar a ambos lados –el de las partes del fluido que nunca se encontraron con el obstáculo– se ven forzadas a volver, tras expandir la turbulencia, por supuesto… con lo que muy a menudo se forman cadenas de vórtices bellísimas que suelen llamarse, en honor al ingeniero, físico y matemático húngaro Theodore von Kármán, calles de vórtices de von Kármán y que es posible que hayas visto alguna vez.

Calle de vórtices de von Kármán formada por el viento (que sopla desde el sudoeste en la foto) al encontrarse con las Islas de Juan Fernández, en Chile (NASA).

Ahora bien, por bello que sea, a menudo los ingenieros tratan de minimizar la turbulencia. La razón es que, como verás por las imágenes de ambos tipos de flujo, en el flujo turbulento gran parte de la energía cinética se la terminan llevando los vórtices, grandes o pequeños. Si diseñas un avión, un coche o un submarino, dado que la energía que no se emplee en mover el vehículo es una pérdida, la turbulencia es tu enemigo… pero un enemigo inevitable, por supuesto. A lo más que podemos aspirar es a que nos quite poco, pero algo nos quita siempre.

Curiosamente esto significa que el flujo turbulento acaba consigo mismo. Las distintas partes del fluido que forman vórtices y chocan unas contra otras suelen ir produciendo vórtices más pequeños, éstos otros más pequeños y así sucesivamente, hasta que no hay grupos de partículas que se mueven juntas contra el resto, sino que la energía cinética termina siendo una mera agitación molecular. Dicho de otro modo, la energía cinética se ha disipado y dispersado por todo el fluido, de modo que se convierte en un ligero aumento de temperatura del fluido.

Como digo, esto es inevitable: la turbulencia sólo aparece cuando hay una velocidad relativa suficiente, y su consecuencia es la interacción entre partes del fluido que se transfieren energía unas a otras y reparten esa energía por otras regiones del fluido. De no haber ninguna fuente externa de energía es cuestión de tiempo que la velocidad relativa entre partes del fluido o con el entorno se vaya reduciendo hasta que, inevitablemente, la viscosidad reine de nuevo, el número de Reynolds disminuya lo bastante y el flujo se torne en laminar; éste, por cierto, también acaba con su propia existencia porque la fricción disminuye la velocidad relativa hasta hacerla cero de manera inevitable.

Turbulencia causada por un Boeing 777. Versión a 1600x1200 px, un excelente fondo de pantalla.

Por eso cuando vemos flujos turbulentos que se mantienen en el tiempo suelen ser consecuencia de un aporte constante de energía externa: el viento que forma los vórtices de Kármán de la foto se debe a la luz solar y la diferencia de temperatura correspondiente entre distintas zonas de la Tierra, el flujo turbulento del cigarrillo de Bogart a la combustión del propio cigarrillo, los vórtices tras el ala de más arriba a la fuente de energía del avión –o el ventilador, si es un túnel de viento–, etc.

Ideas clave

Aunque haya sido un capítulo final muy descriptivo, deberían haberte quedado claros los siguientes conceptos fundamentales:

• El comportamiento de los fluidos viene descrito por una ecuación diferencial que suele dividirse en tres, una para cada dimensión espacial, las ecuaciones de Navier-Stokes.

• La ecuación de Navier-Stokes es de carácter no lineal, lo que hace imposible en general obtener una solución analítica para ella.

• El número de Reynolds es una magnitud que estima la importancia de los efectos debidos a la diferencia de velocidad respecto a los efectos de viscosidad.

• Si el número de Reynolds es pequeño se dice que existe flujo laminar, y si es grande, que existe flujo turbulento.

• El flujo laminar se caracteriza por el movimiento de “cartas en una baraja”, y es fácil predecir lo que sucederá en el futuro.

• El flujo turbulento se caracteriza por la formación de vórtices y el carácter caótico del comportamiento del sistema.

Hasta la próxima…

No, esta vez no: no hay desafío, ni experimento… nada más que una despedida, porque hemos llegado al final del camino (por ahora). Espero que hayáis disfrutado del bloque en su viaje desde la estática a la dinámica de fluidos y los comportamientos caóticos y que el principio de Arquímedes ya no sea lo mismo que era antes. Yo, como siempre, me lo he pasado como un niño escribiéndolo.

No sé aún de qué tratará el siguiente bloque, y quiero dedicar esfuerzo a la publicación de los anteriores (Termodinámica I aún está a medio cocinar). Como siempre, se aceptan sugerencias. Ahora mismo me tienta dedicar uno a las matemáticas, para poder algún día ir más allá con estos y atacar fórmulas sin suponer que el lector conoce cálculo vectorial o derivadas… pero no estoy seguro.

Mi problema en matemáticas es que no sé dónde suponer que está la base: en estos bloques no supongo conocimiento alguno, simplemente capacidad de raciocinio y ganas. Pero empezar en matemáticas con derivadas puede significar suponer cosas que tal vez el lector no sabe, mientras que empezar con teoría de conjuntos y números puede ser aburrido para quien estudia una ingeniería. ¿Qué hacer? No lo sé… habrá que meditarlo y, por supuesto, escucharos a vosotros: ¿sería aburrido leer de nuevo –si ya lo conoces– sobre intersección, “si y solo si”, “para todo x que pertenece a Z” y cosas parecidas? Tal vez empiece el bloque y, si se nota aburrimiento general, cambiar de tercio y descartar los primeros artículos.

En fin, que ustedes lo hayan disfrutado.