La semana pasada planteamos el desafío del Hombre más fuerte de Mildivia, en el que os preguntábamos por el ángulo óptimo con el que la arrogante pero aguda Laurika había conseguido vencer a todos los fortachones del pueblo en el concurso de lanzamiento de ladrillos sobre el lago helado. Hemos recibido, como siempre, respuestas excelentes y muy bien explicadas, algunas de ellas con gráficas aclaratorias estupendas.

El objetivo de este desafío era hacer “disfrutar doble” a la mayoría, aunque ya me diréis si ha merecido la pena o si, por el contrario, os resulta frustrante; me explico. Si se resuelve el problema como se haría en Bachillerato la mayor parte de las veces, se obtiene un resultado aproximado de unos 19,3º, que es el que habéis obtenido prácticamente todos vosotros. De ahí que en el enunciado hiciese énfasis en la importancia de obtener al menos una estimación, cuyo mérito es muy grande comparado con no tener ni idea del resultado, aunque no sea exacto: haber llegado a los 19º, aunque no sea el resultado fetén, está muy bien. Porque no, no es el resultado fetén aunque esté bastante currado.

Lo que pone de manifiesto el valor de una estimación es que, como bien habéis demostrado los decimonónicos (los que llegáis a unos 19º), con ese ángulo de lanzamiento Laurika gana la competición. Es decir, que si hubiérais competido contra los hombres más fuertes de Mildivia con un 90% de velocidad inicial respecto a ellos, hubiérais ganado el primer premio y se hubieran quedado todos patidifusos. Digo esto porque, si eres decimonónico, no te dé rabia no haber afinado más, ya que eso es precisamente lo que pretendía – engatusarte con un problema que se ve bastante claro desde el principio para que te pelearas con él, y luego enseñarte algo “extra” cuando leyeras la solución completa. Mua… muah… muahaHAH…¡¡¡MUAHAHAHAH!!! ((“Múltiples signos de exclamación – el signo seguro de una mente enferma”, Terry Pratchett.))

¿Qué no has tenido en cuenta si has llegado a 19,3º? De eso hablaremos en un momento, impaciente; antes, los finalistas decimonónicos.

Es difícil elegir soluciones, ya que hay muchas muy bien razonadas. He intentado mostraros dos para quienes no conseguísteis llegar a esos 19,3º, de las que me parecen más claras y didácticas; son las de los dos finalistas del desafío de hoy, la de Julen [mildivia-julen.pdf] y la de David [mildivia-david.pdf]. Creo que si no entiendes la base del problema con una, lo entenderás con la otra – y, si no es así, no dudes en preguntar en comentarios, que los propios participantes te aclararán las dudas que puedas tener.

Es importante, por cierto, entender bien las soluciones de David, Julen y similares antes de intentar entender la más afinada porque no es radicalmente distinta: simplemente añade un factor más a las de ellos, un factor que puede ser muy importante y del que no se suele hablar mucho: el impacto contra el hielo. Si has obtenido esos 19,3º y disfrutado con ello, mi objetivo ahora es que disfrutemos yendo un poco más allá juntos y obteniendo el resultado fetén, que no es otro que 11,3º. Me basaré en las respuestas de David y Julen, de modo que no las cierres si tienes los PDFs abiertos.

Ese resultado, por cierto, sólo lo ha enviado uno de vosotros, Oldman, pero lo cierto es que no entiendo bien su razonamiento. El pobre Oldman estaba de vacaciones durante el desafío, y me envió “fuera de concurso” la respuesta sin explicación, simplemente para que quedase constancia. Sin embargo, como fue el único en dar el resultado correcto, le pedí por favor que intentara explicarlo para quienes no hubiesen llegado a él; su respuesta fue mucho más corta que otras veces y creo que no tan completa como hubiera sido precisamente por estar de vacances, de modo que permitid que lo explique a mi manera en vez de poner la de Oldman ahora (al final enlazo a ella).

Antes de empezar con la explicación, un par de avisos: si te ha costado comprender las de Julen y David, no te preocupes por lo que sigue porque es un troncho de aquí te espero con integrales, impulso mecánico y demás, y sólo tiene sentido como ampliación de un conocimiento bien establecido. No vas a entenderla si no has comprendido bien las soluciones anteriores. ¿Que lo entiendes? Genial, porque has aprendido algo nuevo. ¿Que no? No pasa nada. ¡Adelante, valientes!

El problema con los 19,3º es que existe una suposición más falsa que Judas en el proceso: que la velocidad inicial al empezar el deslizamiento horizontal sobre el hielo es $v_{0}\cos\alpha$, es decir, la misma que tiene el ladrillo inmediatamente antes de impactar contra el suelo. El impacto contra el suelo no es algo despreciable en absoluto, sino de gran importancia en el problema, y pega un buen frenazo al ladrillo en horizontal. Veamos si puedo explicar con claridad por qué esto es así antes de poner fórmulas.

Justo antes de impactar contra el suelo, el ladrillo se mueve hacia la derecha con velocidad $v{0}\cos\alpha$ y hacia abajo con velocidad $v{0}\sin\alpha$. Sin embargo, durante el impacto contra el suelo la velocidad vertical del ladrillo se hace nula en muy poco tiempo, ya que el suelo ejerce la fuerza necesaria sobre él para ello. Esa fuerza ejercida por el suelo, como bien explican los decimonónicos, es la fuerza normal, que no tiene por qué ser igual al peso. De hecho, es posible entender por qué durante el impacto tiene que ser mayor que el peso y es, en la realidad, mucho mayor que el peso del objeto.

Cuando la fuerza normal es igual en módulo al peso, la aceleración vertical del objeto es nula: de ahí que, efectivamente, cuando el ladrillo se desliza horizontalmente sobre el suelo, la fuerza normal vale lo mismo que el peso, ambas se cancelan y a otra cosa, mariposa. Pero durante el impacto, la aceleración vertical del objeto no es nula, sino que se dirige hacia arriba, con lo que la fuerza normal durante el impacto no es igual a mg, sino mayor.

Disculpa que sea pesado, pero aquí tienes otra manera de librarte de esa idea maligna de “la fuerza normal en un plano horizontal es igual al peso”. Supongamos que te dejas caer desde un décimo piso. Lo que te duele y probablemente te mata, claro está, es el golpe con el suelo; dicho de otro modo, te mata la fuerza que ejerce el suelo sobre ti, es decir, la fuerza normal. Si la fuerza normal fuese igual a tu peso, por ejemplo, 700 N, no te mataría – no, la fuerza normal durante un impacto es muchísimo mayor que el peso, y gracias a ella el objeto no atraviesa el suelo.

¿Cómo calcular la fuerza normal durante el impacto? Aquí vienen las buenas noticias: no nos hace falta. Lo que nos interesa es el impulso que el suelo proporciona al ladrillo, es decir, la variación de su cantidad de movimiento. Justo antes del impacto, la velocidad vertical del ladrillo es $-v{0}\sin\alpha$, y después del impacto, ya que el movimiento es horizontal, es 0. De modo que la variación de la cantidad de movimiento del ladrillo es $m v{0}\sin\alpha$.

Por lo tanto, el impulso que realiza la fuerza normal sobre el ladrillo es necesariamente igual a la variación de la cantidad de movimiento:

$\Delta p{y} (= m v{0}\sin\alpha) = \int N\, dt$

Evidentemente, cuanto menor sea la duración del impacto, mayor será la fuerza normal media durante él, y viceversa. Pero el efecto total debe ser, necesariamente, la variación de la cantidad de movimiento del ladrillo. Aunque no sea de interés en la resolución de este problema, por cierto, esto es lo que hace que, si la superficie es muy blandita –ejerce una fuerza normal pequeña–, la deceleración es menos brusca y dura más, mientras que si es una superficie muy dura, el impacto es muy corto pero la fuerza muy grande y te hace más daño. Pero eso es otra historia, que tendrá que esperar a otra ocasión.

Pero claro, la fuerza de rozamiento con la superficie, como bien han explicado Julen y David, es

$F_{r} = \mu N$

Lo que significa que, durante el impacto, el ladrillo se frena horizontalmente. Ya hemos dicho que, justo antes, su velocidad horizontal es $v_{0}\cos\alpha$, pero ahora sufre un impulso que modifica su cantidad de movimiento horizontal:

$\Delta p{x} = -\int F{r}\, dt$

Sustituyendo la fuerza de rozamiento por $\mu N$,

$\Delta p_{x} = -\int \mu N\, dt$

Sacando el coeficiente de rozamiento de la integral obtenemos una integral que debería resultarte familiar, de un par de pasos atrás:

$\Delta p_{x} = -\mu \int N\, dt$

Efectivamente, sabemos que $\int N\, dt = m v_{0}\sin\alpha$, con lo que tenemos que

$\Delta p{x} = -\mu m v{0}\sin\alpha$

Es decir, que la variación de la velocidad horizontal del ladrillo durante el impacto es

$\Delta v{x} = -\mu v{0}\sin\alpha$

Es decir, durante el impacto, el ladrillo se frena horizontalmente; la razón, como ves en la fórmula, es que durante ese impacto, por breve que sea, la fuerza normal es bastante grande –de hecho, como hemos visto, tanto mayor cuanto más breve sea el impacto–, y con ella la fuerza de rozamiento. Como consecuencia, esa velocidad horizontal inicial de $v_{0}\cos\alpha$ se ha reducido hasta valer, justo tras el impacto,

$v{0}\cos\alpha - \mu v{0}\sin\alpha$

O, sacando factor común,

$v_{0} (\cos\alpha - \mu \sin\alpha)$

Y ese segundo término es la corrección al valor de velocidad inicial del movimiento de deslizamiento sobre el suelo que habéis utilizado los decimonónicos. Si os fijáis, no es ni mucho menos despreciable salvo que el coeficiente de rozamiento lo sea, y es tanto mayor cuanto mayor es el rozamiento y cuanto más en vertical impacta el ladrillo contra el suelo. De hecho, si te fijas, para cualquier valor de μ existe un ángulo por encima del cual el ladrillo se queda “clavado” durante el impacto y no se desliza nada. Una vez más, no es algo pedido en el desafío, pero estamos jugando, así que disfrutemos con ello. ¿Cuándo se frenará completamente el ladrillo durante el impacto? Si la velocidad de la fórmula de arriba se hace nula:

$0 = v_{0} (\cos\alpha - \mu \sin\alpha)$

Es decir, si

$\cos\alpha = \mu \sin\alpha$

Luego

$\tan\alpha = \frac{1}{\mu}$

Cualquier ángulo mayor que ése significará una “clavada” ( y eso, por cierto, significa que hay un μ determinado para el que lo mejor es hacer lo que sugería Shivillikas, es decir, lanzar con 45º; ¿puedes determinar cuál es ese coeficiente de rozamiento?). En cualquier caso, el espacio total recorrido en horizontal, teniendo en cuenta esta corrección, mientras que antes era (tomado de la solución de David, que es la que tengo delante):

$S = \frac{2 v{0}^2 \cos\alpha \sin\alpha}{g} + \frac{v{0}^2 \cos{\alpha}^2}{2 \mu g}$

Ahora se convierte en algo parecido, pero no igual:

$S = \frac{2 v{0}^2 \cos\alpha \sin\alpha}{g} + \frac{v{0}^2 (\cos{\alpha} - \mu \sin\alpha)^2}{2 \mu g}$

No os creáis que voy a seguir resolviendo, sinvergüenzas… al derivar respecto de α e igualar a cero, del mismo modo que hacían los decimonónicos pero con el término “corregido”, se obtiene la condición que queremos. Aquí está, por cierto, lo que me parece la ironía tremenda de este problema… sin tener en cuenta el impacto, Julen obtenía la siguiente expresión analítica para α:

$\tan 2\alpha = 4 \mu$

Mientras que la expresión equivalente pero corregida, curiosamente, a pesar de tener en cuenta algo más complejo, resulta ser algo mucho más simple (deriva y calcula si quieres obtenerla, descastado):

$\tan\alpha = \mu$

Curioso, ¿verdad? Por lo tanto, el valor correcto de α no es otro que

$\alpha = \arctan0,2$

Es decir, que α = 11,3º. Redoble de platillos y un abrazo si has llegado hasta aquí conmigo. Yo también te quiero.

Como he dicho al principio, Oldman llega hasta este valor exacto pero de una manera que no entiendo. Aquí os la dejo, para que podáis leerla vosotros mismos: [mildivia-oldman.doc]. Salvo que él me diga que su razonamiento no tiene nada que ver con esto y que la diferencia no se debe a la falta de tiempo (¡porque ya es casualidad que le salga lo mismo!), creo que se merece ser el ganador de este desafío.

Espero, como decía antes, que hayáis disfrutado dos veces. ¿No es un placer pensar? Descansad las neuronas y ¡hasta el próximo desafío!