Nota: Si ves las fórmulas mal (por ejemplo, si ves símbolos de dólar alrededor de esta $x$) es que no estás leyendo el artículo en la web, que es donde se ve bien. Prueba a leer el artículo original aquí: https://eltamiz.com/2014/08/31/matematicas-i-vectores/.

En este bloque de repaso de [Matemáticas I] hemos hablado ya sobre variables y expresiones algebraicas, ecuaciones en general, ecuaciones polinómicas en particular, sistemas de ecuaciones, coordenadas cartesianas y rectas.

Al terminar el capítulo dedicado a las rectas hablamos sobre la necesidad de un concepto matemático que indique la dirección de algo de un modo más flexible que la pendiente, y de eso precisamente hablaremos hoy: del concepto de vector, que no sólo incluye la información sobre la dirección de algo sino bastante más.

Pero antes, como siempre, la solución al desafío planteado en la entrada anterior.

Solución al desafío 9 - Rectas y más rectas

Se nos pedía resolver una serie de problemas cortos. Aunque para cada uno hay más de una manera de llegar a la solución, intentaré elegir la que me parece más didáctica en cada daso (si no has seguido el mismo método, asegúrate de que entiendes éste y que el resultado es el mismo que el tuyo):

1. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,1) y (-4,0).

Puesto que hemos visto cómo resolver sistemas de ecuaciones de manera rápida, hagamos justo eso. La ecuación de una recta cualquiera en el plano es $y = mx + n$. Por tanto, dado que la recta pasa por (1,1) debe cumplirse, sustituyendo $x$ e $y$, que

$$1 = m + n$$

Pero la recta también pasa por (-4,0), luego haciendo lo mismo tenemos que

$$0 = -4m + n$$

No hay más que multiplicar la segunda ecuación por -1 para poder usar la reducción:

$$1 = m + n$$ $$0 = 4m - n$$

Sumando miembro a miembro,

$$1 = 5m$$

Luego $m = \frac{1}{5}$. Si volvemos a la primera de las dos ecuaciones,

$$1 = \frac{1}{5} + n$$

Por lo tanto podemos despejar $n$ (me salto los pasos intermedios, que esto ya lo tienes superado):

$$n = \frac{4}{5}$$

De manera que la ecuación completa de la recta que se pedía es $y = \frac{x}{5} + \frac{4}{5}$. Una forma más elegante puede obtenerse multiplicando por 5, $5y = x+4$.

2. Calcula la pendiente y ordenada en el origen de la recta $\frac{y}{4} - \frac{3x}{2} = \frac{1}{2}$.

Para calcular la pendiente debemos despejar $y$. Podemos hacerlo en dos pasos que a estas alturas deberían estar superados:

$$y = 6x+2$$

Luego la pendiente de la recta es $m = 6$. Respecto a la ordenada en el origen, recuerda que es la ordenada en el punto de corte con el eje $y$, el resultado de hacer $x = 0$ en la ecuación. En nuestro caso es tan fácil como mirar el valor de $n$, claro está: $n = 2$.

3. Encuentra la ecuación de la recta paralela a $y = -x + 2$ y que pasa por el punto (-2,-2).

Si es una recta paralela a ésa, tiene la misma pendiente, $m = -1$. Por tanto, nuestra recta misteriosa será algo así: $y = -x + n$. Pero ¿cómo calculamos $n$? No hay más que sustituir las coordenadas del punto que nos dan, (-2,-2):

$$-2 = -(-2) + n$$

En otras palabras, $n = -4$ y la ecuación de la recta que se pide es $y = -x-4$.

4. Encuentra el punto de corte de la recta $y = 2x - 5$ con el eje de abscisas y con el eje de ordenadas.

En el primer caso debemos hacer $y = 0$, que es la ecuación del eje de abscisas. El resultado es $0 = 2x-5$, es decir que tenemos el valor de $x$, $x = \frac{5}{2}$. Así, el punto de corte que se pide es $(\frac{5}{2},0)$.

En el segundo caso no hay más que mirar la ecuación, ya que en esta forma la ordenada en el origen es el término independiente del miembro de la derecha, -5. El punto de corte es, por tanto, $(0,-5)$.

5. Las rectas $y = x - 1$ e $y = -2x + 1$ se cortan en un punto. Además, cada una de las dos corta al eje de abscisas en un punto determinado. Estos tres puntos de corte (ambas rectas entre sí y cada una con el eje de abscisas) definen un triángulo. Calcula el perímetro de ese triángulo.

Aquí ya llegamos a uno de los dos problemas con más chicha. Nos hace falta encontrar los tres puntos de corte que definen el triángulo, lo cual podemos hacer resolviendo sistemas de ecuaciones (intentaré hacerlo de forma concisa).

El primero es el que forman las dos rectas:

$$y = x -1$$ $$y =-2x+1$$

Resolviendo por reducción,

$$2y = 2x-2$$ $$y = -2x +1$$

Luego $3y = -1$ y por tanto $y = -\frac{1}{3}$. Si volvemos a la primera ecuación y sustituimos $y = -\frac{1}{3}$ tenemos que $-\frac{1}{3} = x-1$ luego $x = \frac{2}{3}$. Así, el primer punto de corte que nos interesa es $(\frac{2}{3},-\frac{1}{3})$.

Afortunadamente encontrar los dos puntos de corte de las rectas con el eje de abscisas ($y = 0$) es más rápido. Para la primera, $0 = x-1$ luego $x = 1$. El punto es entonces (1,0). Para la segunda, $0 = -2x+1$ luego $x = \frac{1}{2}$ y el punto es $(\frac{1}{2},0)$.

Ya tenemos entonces los tres puntos: $(1,0)$, $(\frac{1}{2},0)$ y $(\frac{2}{3},-\frac{1}{3})$, que definen el triángulo. Pero lo que se nos pide es el perímetro de ese triángulo, es decir, la suma de la medida de los tres lados.

¿Cuánto mide cada lado? ¡La distancia entre cada par de puntos, por supuesto! No tenemos más que calcular las distancias entre ellos y sumar las tres. Afortunadamente ya vimos, al hablar de coordenadas cartesianas, que calcular distancias en el plano cartesiano utilizando Pitágoras es relativamente fácil.

La distancia entre $(1,0)$ y $(\frac{1}{2},0)$, dado que están ambos sobre el eje de abscisas, es simplemente $\frac{1}{2}$ (el valor absoluto de la resta de sus abscisas).

La distancia entre $(1,0)$ y $(\frac{2}{3},-\frac{1}{3})$ podemos obtenerla aplicando Pitágoras. La diferencia de abscisas es $1-\frac{2}{3} = \frac{1}{3}$, y la diferencia de ordenadas es también $\frac{1}{3}$ (recuerda que, para calcular distancias, siempre utilizamos el valor absoluto de esas diferencias).

Por tanto, la distancia entre ambos puntos es $\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{2}{9}}$, es decir, $\frac{\sqrt{2}}{3}$.

La distancia entre el tercer par de puntos, $(\frac{1}{2},0)$ y $(\frac{2}{3},-\frac{1}{3})$ podemos obtenerla del mismo modo. Hazla tú mismo y deberías obtener $\frac{\sqrt{5}}{6}$.

¡Por fin! Ya sólo nos queda sumar las tres distancias, que es lo que mide cada lado, para obtener el perímetro del triángulo, que es $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{5}}{6}$, que puede dejarse ligeramente más bonito sacando factor común $\frac{1}{6}$, como $\frac{1}{6}(3+2\sqrt{2}+\sqrt{5})$.

6. Encuentra la ecuación de la recta perpendicular a $y = x + 2$ que pasa por el origen.

La pendiente de la recta que nos dan es $m =1$, es decir, es una recta exactamente diagonal, paralela a $y=x$. Aunque en general sería más difícil obtener una recta perpendicular a ella, recuerda el principio del capítulo sobre rectas: ¡la recta $y = -x$ es perpendicular a $y = x$!

No sólo eso, sino que cumple la segunda condición: $y = -x$ pasa por el origen, luego ésa es precisamente la recta que se nos pide. No te preocupes si no pudiste obtener la solución a este último problema, ya que con lo que sabías hasta ahora era un poco “de idea feliz”.

Puntos para definir direcciones

Aunque puede que no lo sepas, ya tienes en la cabeza la noción de lo que es un vector, porque básicamente lo hemos visto ya con una pequeña modificación. Permite que volvamos de nuevo a hablar de la representación de un punto en el plano cartesiano y verás de lo que estoy hablando.

Imagina que nos fijamos en un punto cualquiera del plano, como por ejemplo (-2,3). ¿Qué significan esos números según hemos visto ya?

Las coordenadas del punto nos indican cómo llegar a él desde el origen de coordenadas. La abscisa -2 quiere decir que debemos desplazarnos dos unidades en el sentido negativo –hacia la izquierda–, y la ordenada 3 que debemos desplazarnos tres unidades en el sentido positivo de ese eje –hacia arriba– hasta llegar al punto. Es como si nos moviésemos desde el inicio (el origen) hasta nuestro destino (el punto en cuestión) en dos tramos, uno por coordenada, de acuerdo con las instrucciones:

Pero el resultado final hubiese sido el mismo si nos hubiéramos movido en línea recta desde el origen al punto, rectos como una flecha:

No hace falta que te diga tampoco cuánto mide exactamente esa flecha, ¿verdad? Todo esto está ya superado. Pero pensemos un poco más en esa flecha que va del origen de coordenadas hasta (-2,3), sobre todo en lo que nos interesa ahora: la flecha define una dirección precisa.

De hecho, si lo piensas es un concepto superior al de pendiente que usamos antes con nuestras rectas. Por un lado, en el caso de una recta vertical (paralela al eje de ordenadas) la pendiente es infinita, pero podríamos tener una flecha vertical descrita con las coordenadas de un punto sin el menor problema:

Esa flecha define la dirección vertical, paralela al eje de ordenadas, de un modo más eficaz que la pendiente, ya que no involucra ningún infinito. Pero hay más características de nuestros puntos, representados como flechas desde el origen, que los hace mejores que la pendiente.

Por un lado, observa los dos puntos siguientes, ambos situados sobre el semieje positivo de abscisas (luego la dirección para llegar a ambos es exactamente la misma):

¿Ves la diferencia entre ambos? En ambos casos debemos desplazarnos horizontalmente hacia la derecha para llegar a cada punto, pero en un caso debemos hacerlo mayor distancia que en el otro. Es decir, nuestras flechas no sólo contienen información sobre la dirección de desplazamiento, sino sobre la magnitud de ese desplazamiento.

Finalmente, hemos hecho siempre que la flecha parta del origen de coordenadas, ya que precisamente ése es el modo en el que podemos localizar un punto en el plano cartesiano, pero nada hubiera impedido que la flecha tuviese su origen en otro punto. Imagina, por ejemplo, que tomamos el caso inicial (-2,3) pero no empezamos en el origen, sino un par de unidades más arriba:

En este caso no he puesto la P junto a las coordenadas, ya que evidentemente la flecha no termina en el punto (-2,3) –termina en (-2,5), pero de eso hablaremos luego–. Pero a cambio de eso hemos ganado una enorme flexibilidad: nuestra flecha ya no tiene su origen en un punto fijo. Al principio, (-2,3) significaba que para alcanzar el final debíamos movernos dos unidades a la izquierda y tres hacia arriba desde el origen de coordendas; pero ahora el (-2,3) indica que debemos desplazarnos dos unidades a la izquierda y tres hacia arriba desde donde quiera que empecemos.

Y lo que acabamos de describir, estimado y paciente lector, es precisamente nuestro objetivo hoy: un vector. Pero hablemos con un poco más de precisión del concepto.

Concepto de vector

En Matemáticas, la definición estricta de lo que es un vector es bastante complicada y abstracta, pero afortunadamente para todos, aquí nos interesa el asunto por su aplicación en Física y dentro de las coordenadas cartesianas, de modo que daremos una definición más de andar por casa y arraigado en la realidad:

Un vector es un segmento orientado.

Dicho más llanamente, un vector no es más que una flecha, como las que hemos visto antes. La propia palabra viene del latín vector, que significa portador.

Hay muchas maneras de definir un vector. Ya hemos visto una de ellas, que es simplemente usar componentes, como (1,0) o (-2,3). Otra es dibujarlo en el plano como una flecha. Pero ¿qué características comunes definen un vector independientemente de cómo lo representemos?

Básicamente son dos, aunque en castellano a menudo se desdobla la segunda propiedad para obtener una tercera:

• El módulo de un vector es su longitud. Por ejemplo, el módulo de (3,4) es 5, que puede obtenerse utilizando el teorema de Pitágoras: $\sqrt{3^2+4^2} = 5$.

• La dirección de un vector es precisamente eso: la recta sobre la que se dibuja la flecha. En inglés la dirección incluye el “hacia dónde” dentro de la recta, pero en español no suele considerarse así y se añade una tercera propiedad:

• El sentido de un vector indica hacia dónde apunta la flecha dentro de la dirección que sea. Por ejemplo, los vectores (2,0) y (-2,0) tienen la misma dirección –horizontal–, pero el primero se dirige hacia la derecha y el segundo hacia la izquierda.

¿Y vectores en tres dimensiones?

En este bloque, ya que nos hemos centrado en el plano cartesiano de dos dimensiones, no hablaremos de otros vectores más raros, sino que nos restringiremos a los de dos coordenadas –en el caso de vectores se denominan *componentes*–, abscisa y ordenada. Pero, como puedes imaginar, los hay más complicados. Por ejemplo, un punto en el espacio –no en el plano– no viene definido por un par de componentes sino por tres, de modo que existen vectores de tres dimensiones.

¡Pero la cosa no acaba ahí! Hay vectores de más de tres dimensiones: la noción de vector es mucho más abstracta de lo que estamos viendo en estos ejemplos. En mecánica cuántica, por ejemplo, es común emplear vectores de infinitas dimensiones. ¡Toma castaña! Eso sí, asegúrate de que entiendes el concepto concreto y amarrado a la realidad antes de subirte a ramas del árbol demasiado altas.

A veces es también necesario indicar dónde empieza el vector: recuerda que, a diferencia de los puntos en el plano, no tenemos por qué empezar en el origen de coordenadas. Si este dato es relevante, el vector tendrá entonces una propiedad más:

• El punto de aplicación de un vector es el origen de la flecha.

En Física los vectores se utilizan todo el tiempo, porque son utilísimos para definir magnitudes en las que es necesario saber “hacia dónde” y “cuánto” en vez de simplemente “cuánto”. Quiero detenerme un momento en esto, porque es fundamental entenderlo.

Magnitudes escalares y vectoriales

Si queremos saber cuánto dinero tiene alguien, cuánto tiempo ha pasado desde un momento concreto o cuál es la temperatura en un lugar, básicamente lo que necesitamos definir es cuánto: 400 €, 5 s, 200 K. No hay más. Cuando una magnitud es de este tipo se dice que es una magnitud escalar. El origen de la palabra es precisamente el de escala, ya que la medimos como si fuera una escalera con peldaños.

Sin embargo, a menudo es necesario saber no sólo cuánto, sino hacia dónde: la velocidad del viento, la aceleración de un coche, la fuerza ejercida sobre un objeto. No es lo mismo que el viento sople de frente que a nuestra espalda, ni es lo mismo que empujemos una mesa hacia abajo que horizontalmente. Supongo que sabes a dónde quiero llegar.

Lo que nos hace falta en este caso es una magnitud vectorial. Si nos encontramos en el plano, por ejemplo, y el viento es de 5 m/s hacia la derecha, entonces una mejor manera de englobar esa información es decir que el viento es de (5,0) m/s. ¿Ves el poder de los vectores? Decir que el viento es (5,0) m/s nos dice cómo de fuerte es, y que se dirige hacia el este, y nos dice ambas cosas al mismo tiempo.

Si por el contrario nos dicen que el viento es (4,3) m/s, sabemos que es igual de fuerte que antes –5 m/s es el módulo del vector (4,3)– pero que se dirige más o menos hacia el nordeste. Ahora bien, observa otra vez el poder de los vectores: con palabras me cuesta mucho indicar hacia dónde (no es exactamente en la dirección nordeste), mientras que (4,3) m/s tiene absolutamente toda la información de forma muy concisa.

Una magnitud escalar (la temperatura) y una vectorial (la velocidad).

En general, por tanto, si al pensar en una magnitud física es importante saber hacia dónde se dirige, suele ser conveniente usar un vector, y si no lo es basta con usar un escalar –que podríamos definir como un vector de una sola dimensión, claro–. Baste decir que saber operar con vectores es absolutamente fundamental para hacer física. Pero ¿cómo se opera con vectores? La respuesta es que, hasta cierto punto, casi igual que con escalares normales y corrientes.

Más sobre vectores y puntos

En esta entrada hemos utilizado el concepto de punto como ídem de partida para llegar al de vector: como recordarás, la única diferencia ha sido que un vector no tiene por qué empezar en el origen de coordenadas, mientras que para un punto la referencia siempre es ese origen. Dicho de otro modo, hemos llegado del concepto de punto al de vector generalizando el primero.

Pero, ahora que ya estás familiarizado con la noción de vector –o, al menos, eso espero–, podemos hacer justo lo contrario: definir los puntos cartesianos como un tipo específico de vector. Porque eso es exctamente lo que son, claro: un punto es un vector cuyo punto de aplicación es el origen de coordenadas, y cuyas unidades son de distancia (metros, en el Sistema Internacional de Unidades).

Esto puede parecer dar vueltas para llegar al mismo sitio, pero a menudo es más fácil entender un concepto general a partir de otro más concreto y luego mirar hacia atrás para poner todo en perspectiva.

Suma y resta de vectores

Sumar dos escalares es bien fácil: $2+3 = 5$, listo. Pero ¿cómo se suman dos vectores? ¿Es posible definir esa operación para ellos? No sólo es posible, sino que afortunadamente es algo bien simple y fácil. Para ello, pensemos en esos escalares como vectores de una sola dimensión o componente. De hecho, pensemos en ellos como puntos: 2 significa dos unidades a la derecha del origen, 3 significa tres unidades a la derecha, etc.

El número 2, visto como un punto de una sola coordenada, indica cómo llegar al punto desde el origen, como siempre: 2 significa “muévete dos unidades hacia la derecha del origen”. Sumar dos escalares, por tanto, no es más que concatenar las instrucciones de cada uno, de modo que las seguimos una tras otra: $2+3$ significa “muévete dos unidades a la derecha del origen, y luego muévete tres unidades a la derecha de donde estés”. Hacer eso, evidentemente, es lo mismo que moverse cinco unidades a la derecha directamente, que es la razón por la cual $2+3=5$.

Pero ¿y si se trata de vectores de dos dimensiones? Ya hemos hecho algo muy parecido a eso en este mismo artículo. Recuerda este dibujo:

Como recordarás, estábamos entonces generalizando el concepto de punto hacia el de vector, desplazando el punto de aplicación de (-2,3) desde el origen dos unidades hacia arriba. Pero ¿qué quiere decir “dos unidades hacia arriba” escrito como vector con componentes? Es el vector (0,2):

Fíjate en que los dos vectores concatenados nos van indicando el camino a recorrer: primero hacemos (0,2) hacia arriba, luego (-2,3) hacia la izquierda y hacia arriba, y así llegamos al final. Es algo parecido a lo de antes: 2 unidades hacia la derecha y luego 3 hacia la derecha. Ahora bien, antes vimos que hacer aquello era lo mismo que desplazarnos 5 unidades directamente. ¿No podríamos ahora hacer igual y llegar desde el origen directamente al destino?

Ya sabes lo suficiente sobre todo esto para ver de qué vector se trata: es el vector (-2,5), que es el punto de destino de nuestros “vectores concatenados”. Pero concatenar instrucciones es precisamente sumar, de modo que hemos obtenido la suma de los dos:

También sabes lo suficiente como para darte cuenta de que no hace falta recorrer todo ese camino para calcular la suma de los dos vectores: las abscisas y las ordenadas, al fin y al cabo, son instrucciones independientes. Basta con concatenar unas por un lado y otras por otro, es decir, sumar las componentes cada una por su lado: $(0,2)+(-2,3) = (0+(-2), 2+3)$, que lleva por supuesto a (-2,5), el vector suma de ambos.

Por si acaso no ha quedado clara la conclusión práctica, aquí la tienes de un modo más formal:

Cada componente del vector suma de dos vectores es la suma de esa componente para cada uno de ellos.

Aquí no vamos a meternos en mucho más detalle, pero la suma de vectores cumple todo lo que cumple la suma de escalares; lo más importante de todo, desde luego, la propiedad conmutativa: $(0,2)+(-2,3) = (-2,3)+(0,2)$. De hecho puedes verlo también gráficamente: para llegar al final del camino de antes da igual qué vector recorramos primero y cuál después:

Finalmente, no voy a detenerme apenas en la resta de vectores, porque al fin y al cabo una resta no es más que una suma del minuendo y el opuesto del sustraendo: 5-4 es lo mismo que 5+(-4). De modo que si queremos restar dos vectores, por ejemplo (4,5) y (0,2), no hay más que hacer $(4,5) + (0,-2) = (4,3)$. Ahora bien, si sumar un vector a otro significa gráficamente añadir un paso más en el camino de instrucciones, ¿qué es entonces restar?

Piensa en lo que hemos hecho: como queremos restar (0,2) (un vector que, en cuanto a instrucciones, significa “dos unidades hacia arriba verticalmente”), lo hemos convertido en (0,-2), que significa “dos unidades hacia abajo verticalmente”, y lo hemos sumado al anterior, es decir, lo hemos convertido en un paso más tras darle la vuelta.

Dicho de otro modo, restar un vector a otro significa sumarle el opuesto, y el opuesto de un vector no es más que el vector “al revés”, de modo que el origen y el destino de la flecha se invierten.

Pero los vectores tienen mucha más utilidad –y complejidad– detrás. Por ejemplo, hemos hablado del hecho de que el vector (4,3) se dirige más o menos hacia el nordeste (arriba y la derecha) en el plano cartesiano. Podríamos también hallar la pendiente de la recta en esa dirección. Pero hay otra forma más gráfica de indicar su dirección, que es simplemente dar el ángulo que forma con algún eje: en este caso seguro que es un ángulo de menos de 45º con el eje de abscisas, ya que se dirige más hacia la derecha” que “hacia arriba”.

Y esa descripción con ángulos requiere de algo cuya sola mención provoca escalofríos en muchos alumnos de secundaria: la trigonometría. De ella hablaremos en el siguiente artículo del bloque. Pero antes, lo habitual: recapitular ideas y comprobar que están bien asentadas.

Ideas clave

Para atacar el resto del bloque con garantías deben haberte quedado claros los siguientes conceptos:

• Un vector en el plano cartesiano es un segmento orientado, es decir, una flecha con un inicio y un fin.

• Todo vector tiene tres propiedades: módulo, dirección y sentido.

• El módulo de un vector indica la longitud de la flecha.

• La dirección de un vector indica la recta sobre la que se encuentra la flecha.

• El sentido de un vector indica hacia dónde recorre la flecha la recta sobre la que se encuentra.

• A veces es necesario conocer también el punto de aplicación del vector, que es el punto de inicio de la flecha.

• En el plano cartesiano es muy sencillo definir un vector con sus componentes: abscisa y ordenada.

• Una magnitud escalar es la que viene definida por un número entero sin más.

• Una magnitud vectorial es la que viene definida por un vector.

• Para sumar dos vectores no hay más que poner una flecha a continuación de la otra, o sumar las abscisas con las abscisas y las ordenadas con las ordenadas.

• Para restar dos vectores no hay más que sumar al primero el opuesto del segundo.

Antes de seguir…

Como puedes imaginar, en este caso voy a plantearte algunas preguntas breves sobre vectores, que no requieren demasiado cálculo pero deberían servirte para comprobar si has comprendido bien los conceptos del artículo.

Desafío 10 - Vectores

Responde a las siguientes preguntas. Si es posible, para asentar la conexión entre números y el plano, emplea ambos métodos: dibujos de flechas, rectas, etc., con componentes cartesianas. Si no es posible en algún caso, no te preocupes:

1. Calcula el vector que tiene su origen en el punto (2,4) y su final en el origen de coordenadas.

2. Calcula el vector que tiene su origen en el punto (2,4) y su final en el punto (0,-2).

3. Calcula un vector con la misma dirección que el anterior, sentido contrario y el doble de módulo.

4. Calcula el módulo del vector (5,-4).

5. Calcula el vector que se encuentra sobre la recta y = 3x-1, parte del origen de coordenadas, se dirige hacia la derecha y hacia arriba y tiene de módulo $2\sqrt{10}$.

6. Calcula la suma de los vectores de los apartados (2) y (4).

7. Calcula la resta de esos dos mismos vectores.