La topología y yo tenemos una relación tormentosa: yo la amo, pero ella me desprecia. Me fascina con sus encantos, pero luego no me deja entenderla en profundidad… qué se le va a hacer. Al menos, siempre puedo disfrutar con cosas como la de hoy (que nos tuvo ayer a Geli y a mí jugando como niños con papel y tijeras).

Cinta de Möbius hecha con papel y cinta adhesiva. Crédito: David Benbennick (GPL).

Probablemente conoces la famosa cinta de Möbius (también escrito Moebius, y a veces se refiere a ella como “banda” en vez de “cinta”). Escher realizó varias ilustraciones fascinantes basadas en ella. Básicamente es una tira “retorcida” de modo que tiene una sola cara y un solo borde. Esto hace que tenga propiedades topológicas curiosísimas, pero el objetivo de este breve artículo no es profundizar en el conocimiento de este curioso objeto matemático, sino mostrarte lo divertido que puede ser jugar con él. ¿Infantil? Indudablemente.

No me refiero simplemente a fabricar una cinta de Möbius, sino a comprobar experimentalmente algunas de sus interesantes propiedades. De modo que, si quieres conocer cómo aprovechar las propiedades de las bandas de Möbius para jugar, o para mostrar a un niño que las matemáticas no son sólo sumar y restar, utilizando simplemente un papel, cinta adhesiva, un rotulador y unas tijeras, sigue leyendo.

Evidentemente, lo primero es fabricar una cinta de Möbius, pero eso es muy fácil: simplemente recorta un rectángulo de papel (de la longitud de un folio y las proporciones de la de la foto, por ejemplo). Las dimensiones no son demasiado importantes, pero no lo hagas demasiado fino o no podrás realizar algunos de los pasos posteriores con facilidad. Pega los extremos del rectángulo con cinta adhesiva pero, en vez de hacerlo como si fuera un anillo normal (con una superficie “de fuera” y otra “de dentro”), gira uno de ellos 180° de modo que no haya “fuera” ni “dentro”. Sé que esta explicación es algo patética, pero el inicio del vídeo muestra cómo fabricar una banda de Möbius mucho mejor que mis palabras.

Una vez tengas la cinta fabricada, realicemos algunos “experimentos” con ella para comprobar sus propiedades. Los primeros experimentos son inmediatos ( interesantes, pero no demasiado sorprendentes si conoces estas cintas), pero los últimos, en mi opinión, son sorprendentes y muy divertidos. Parecen casi trucos de magia.

Hay veces que la gente no asimila el hecho de que la superficie es única, no hay dos opuestas. Demostrarlo, una vez fabricada la cinta, es muy fácil: simplemente coge un rotulador y pinta una línea a lo largo de la mitad de la cinta. Al cabo de un tiempo encontrarás que llegas al mismo lugar en el que empezaste, y toda la cinta tiene la línea dibujada. Por cierto, la longitud de la línea que has dibujado es el doble de la circunferencia de la cinta. Este “experimento” es aún más revelador si no lo haces tú delante de la persona a la que quieres mostrar la cinta, sino que lo hace ella misma.

Lo mismo sucede con el borde de la cinta: nuestra intuición cree que hay dos bordes del papel. Pero si recorres el borde con el dedo (dejando otro dedo fijo donde empezaste), al cabo del tiempo llegas a tocar el mismo dedo en el punto en el que empezaste: no hay “borde de arriba” y “borde de abajo”.

Pero es posible hacer cosas más espectaculares con una de estas cintas. Si has llegado hasta aquí, coge las tijeras y corta la cinta a lo largo por la mitad, siguiendo la línea que has dibujado con el rotulador. Te recomiendo que lo hagas antes de leer lo que sucede o ver el vídeo, simplemente para no tener ideas preconcebidas.

¿No es genial? Lo “lógico” (entrecomillado, por supuesto) sería pensar que acabas con dos cintas delgadas, ¡pero terminas con una sola, el doble de larga y con la mitad de anchura que la inicial! Además, si te fijas en las “vueltas” que tiene, no es una cinta de Möbius.

Pero hay más: para el siguiente experimento tendrás que fabricar una nueva cinta de Möbius. Cuando lo hayas hecho, realiza el experimento anterior (de cortar la cinta) pero en vez de hacerlo por la mitad, hazlo a un tercio de la anchura (dejando un tercio a un lado y dos tercios al otro lado), una vez más a todo lo largo de la cinta. No hace falta que dibujes la línea primero con el rotulador, pero si lo haces verás que la línea tiene el triple de longitud que la cinta inicial. En cualquier caso, cuando realices el corte y acabes donde empezaste, ocurrirá algo que a mí me dejó con la boca abierta. (Una vez más, si no entiendes lo que quiero decir, mira el vídeo hasta este punto).

¡Acabas con dos cintas separadas, pero una dentro de la otra! Parece un truco de magia, ¿verdad? Observa las “vueltas” de cada una de ellas: una es muy pequeña y es una verdadera cinta de Möbius, pero la más grande tiene demasiadas vueltas.

Puedes realizar otros experimentos (como cortarla a lo largo pero con un cuarto de anchura, o el complicado que se muestra al final del vídeo), pero creo que con éstos ya puedes disfrutar como un niño, o hacer disfrutar a uno. Lo de las “matemáticas de sumar y restar” no es ninguna broma: si puedes mostrar a un niño la belleza de las matemáticas con cosas como ésta, le estarás haciendo un gran favor.

Finalmente el vídeo, por si alguna cosa no ha quedado clara. Es muy rápido pero se ve perfectamente cómo realizar cada uno de estos “experimentos”: