Además de las disculpas por la continuada sequía de artículos, hoy seguimos con la traducción comentada de los Discorsi de Galileo, el libro en el que fundó la cinemática y el estudio de la resistencia de materiales. Si no lo has hecho, te recomiendo que empieces el libro desde el principio.
Habíamos dejado a Sagredo, Simplicio y Salviati discutiendo sobre el concepto de infinito y las paradojas asociadas a él (como la que lleva el nombre de paradoja de Galileo). Con ello seguirán ahora, y como siempre, dejo el último párrafo de la conversación para seguir el hilo más fácilmente:
Así, cuando Simplicio menciona segmentos de diferentes longitudes y me pregunta cómo es posible que los más largos no tengan más puntos que los más cortos, le respondo que un segmento no tiene más o menos ni el mismo número de puntos que otro, sino que cada uno tiene un número infinito. O, si le hubiera respondido que los puntos de un segmento son tantos como los cuadrados; de otro, mayor que todos los números; y en el más corto tantos como el número de cubos, ¿no podría satisfacer su duda poniendo más puntos en una línea que en otra manteniendo un número infinito en cada una? No hay más que decir de la primera duda.
Sagredo – Por favor, espera un momento y deja que añada a lo que ya se ha dicho una idea que se me acaba de ocurrir. Si lo anterior es cierto, me parece imposible decir que un número infinito es mayor que otro o que es mayor que un número finito, ya que si el número infinito fuese mayor que, por ejemplo, un millón, se deduciría de esto que al pasar de un millón a números más y más grandes nos iríamos aproximando al infinito; pero esto no puede ser.
Por el contrario, cuanto mayor sea el número que alcanzamos más nos alejamos del infinito, porque cuanto más grandes son los números menos cuadrados hay entre ellos; pero los cuadrados en los infinitos números no pueden ser menos que la totalidad de los números, como acabamos de acordar; por lo tanto al ir hacia números más y más grandes nos alejamos de infinito.
Esto es un argumento que me parece más bien pobre, y de hecho la conclusión (que no podemos comparar números finitos con infinitos, ni tampoco infinitos entre sí) es errónea, pero bueno.
Salviati – Y así, mediante tu ingenioso argumento, nos vemos llevados a la conclusión de que los atributos de “igual”, “mayor” y “menor” no tienen cabida al comparar magnitudes infinitas entre sí ni tampoco magnitudes infinitas con otras finitas. Pasemos ahora a otra consideración.
Dado que los segmentos y todos los continuos son divisibles en partes que, a su vez, son divisibles infinitamente, no veo cómo es posible evitar la conclusión de que estas líneas están compuestas de un número infinito de indivisibles, porque una división y una subdivisión que pueden ser llevadas a cabo indefinidamente presuponen que las partes son infinitas en número; en cualquier otro caso la subdivisión llegaría a un final. Y si las partes son infinitas en número debemos concluir que no son de tamaño finito, porque un número infinito de cosas de tamaño finito sería de magnitud infinita. Y así tenemos un continuo compuesto de un número infinito de indivisibles.
Dicho con otras palabras, y recuerda la época en la que esto está escrito, en el siglo anterior al de Newton y Leibniz y el concepto de diferencial. Si es posible dividir algo indefinidamente, de modo que cada división reduzca el tamaño de cada parte, entonces en el límite el tamaño de cada parte será nulo, y el número de partes, infinitas, de modo que el producto de ese “tamaño cero” por “infinitos trozos” siga siendo exactamente igual a la longitud original. Y en ese momento habremos reducido esa longitud original a sus componentes últimos.
Simplicio – Pero si llevamos a cabo la división indefinidamente hasta partes finitas, ¿qué necesidad hay entonces de introducir partes no finitas?
Salviati – El propio hecho de que es posible continuar la división indefinidamente hasta partes finitas hace necesario considerar ese continuo como compuesto de un número infinito de elementos infinitamente pequeños. Ahora bien, para resolver este asunto te preguntaré si, en tu opinión, un continuo está hecho de un número finito o infinito de partes finitas.
Simplicio – Mi respuesta es que su número es a la vez finito e infinito; potencialmente infinito, pero de hecho finito. En otras palabras, potencialmente infinito antes de la división, y de hecho finito tras la división; porque no podemos hablar de partes que existen en un cuerpo que no ha sido dividido, o al menos donde se han marcado las divisiones; si no hemos hecho esto aún decimos que existen potencialmente.
Salviati – De modo que no decimos de un segmento que tenga, por ejemplo, veinte codos de largo, contenga realmente veinte líneas de un codo de largo cada una sino, tras su división, que tiene veinte partes iguales; antes de la división se dice que las contiene sólo potencialmente. Supongamos que las cosas son como dices; dime entonces si, una vez hecha la división, el tamaño de la cantidad inicial ha aumentado, disminuido o se ha quedado igual.
Simplicio – Ni aumenta ni disminuye.
Salviati – Ésa es también mi opinión. Por lo tanto las partes finitas de un continuo, ya estén presentes potencial o realmente, no hacen que la cantidad original sea mayor o menor; pero resulta perfectamente claro que, si el número de partes finitas contenidas realmente en el todo es infinito, harían de la cantidad total infinita. Por lo tanto el número de partes finitas, aunque existan sólo potencialmente, no puede ser infinito, excepto que lo que las contiene sea también infinito; y al revés, si la magnitud es finita no puede tener un número infinito de partes finitas ni potencial ni realmente.
Sagredo – ¿Cómo es posible entonces dividir un continuo sin límite en partes que, a su vez, siempre sea posible subdividir?
Salviati – Esta distinción tuya entre lo real y lo potencial parece convertir en fácil, mediante un método, lo que no sería posible mediante otros. Pero intentaré reconciliar estos asuntos de otra manera; y respecto a la pregunta de si las partes finitas de un continuo limitado existen en número finito o infinito responderé, contrariamente a la opinión de Simplicio, que no son ni una cosa ni la otra.
Simplicio – Esta respuesta nunca se me habría ocurrido, ya que no pensaba que existiese algún paso intermedio entre lo finito y lo infinito; de modo que la clasificación o distinción que supone que una cosa debe ser finita o infinita es defectuosa y equivocada.
Salviati – Eso creo yo. Y si consideramos magnitudes discretas creo que existe, entre las infinitas y las finitas, un tercer término intermedio que se corresponde con cada número asignado; de modo que si se pregunta, como en este caso, si las partes finitas de un continuo son finitas o infinitas en número, la mejor respuesta es que no son ni una cosa ni la otra sino que se corresponden con cada número asignado.
Esto me parece un poco lioso. Creo que lo que Galileo quiere decir en boca de Salviati es lo siguiente. El número de indivisibles que componen un continuo es infinito. Sin embargo, el número de partes finitas que lo componen es cualquier número que queramos asignar, por grande que sea. Así, podemos dividir un metro en cien partes iguales, o en mil, o en un millón, y en todos esos casos el tamaño de cada parte será finito, y el número de partes no será infinito, pero tanto el uno como el otro se adaptan al número que deseemos asignar.
El italiano dice de ese número, finito pero tan grande como queramos, que “se corresponde con cada número asignado”, y lo sitúa entre el finito y el infinito. Aunque no estoy seguro, creo que lo que realmente intenta establecer es ese número como el enlace entre el finito y el infinito, a través de su límite.
Para que esto sea posible es necesario que dichas partes no estén dentro de ningún número limitado, porque entonces no se corresponderían con cualquier número mayor; tampoco pueden ser infinitas en número, ya que ningún número asignado es infinito. De este modo, según le plazca a quien pregunta, podemos asignarle cien partes finitas, cien mil, o cualquier otro número siempre que no sea infinito.
Admito por tanto a los filósofos que el continuo contiene tantas partes finitas como deseen, y admito también que las contiene de modo potencial o real, como les plazca; pero debo añadir que lo mismo que un segmento de diez brazas de longitud contiene diez segmentos, cada uno de una braza, y cuarenta segmentos de un codo, y ochenta de medio codo, etc., del mismo modo contiene un número infinito de puntos; que los llamen reales o potenciales, como deseen, ya que en este detalle, Simplicio, me remito a tu opinión y tu juicio.
Simplicio – No puedo evitar admirar tu explicación; pero me temo que este paralelismo entre los puntos y las partes finitas contenidas en un segmento no resultará satisfactoria, y que no encontrarás tan fácil dividir un segmento dado en un número infinito de puntos como los filósofos hacen cuando lo dividen en diez brazas o cuarenta codos; no sólo eso, sino que una división así es completamente imposible de realizar en la práctica, de modo que esto se convertirá en una de esas potencialidades que no pueden hacerse reales.
Salviati – El hecho de que algo pueda hacerse sólo con esfuerzo o diligencia, o con una gran inversión de tiempo, no lo convierte en imposible; de hecho no creo que tú mismo pudieras dividir fácilmente un segmento en mil partes, y mucho menos aún si el número de partes fuera 937 o cualquier otro número primo de gran tamaño. Pero si yo lograse esta división que tú consideras imposible tan fácilmente como cualquier otro podría dividir el segmento en cuarenta partes, ¿no estarías entonces más dispuesto, en nuestra discusión, a admitir la posibilidad de tal división?
Simplicio – En general disfruto mucho con tu método; y en respuesta a tu pregunta responderé que sería más que suficiente si no demuestra resultar más difícil dividir un segmento en puntos que hacerlo en mil partes.
Salviati – Ahora diré algo que tal vez te asombre; se refiere a la posibilidad de dividir un segmento en sus componentes infinitamente pequeños siguiendo el mismo orden que se emplea al dividir el mismo segmento en cuarenta, sesenta o cien partes, es decir, dividirlo en dos, cuatro, etc. Quienquiera que piense que siguiendo este método puede alcanzar un número infinito de pnutos está gravemente equivocado; porque, si se siguiera este método hasta la eternidad, aún quedarían partes finitas que no han sido divididas.
De hecho, quien siguiera un método así estaría muy lejos de alcanzar el objetivo de la invidisibilidad; al contrario, se separaría de ella y aunque piensa que continuando esta división y multiplicando el número de partes se aproxima al infinito está, en mi opinión, alejándose más y más de él. Mi razonamiento es el siguiente. En la discusión anterior llegamos a la conclusión de que, en un número infinito, es necesario que los cuadrados y los cubos sean tan numerosos como la totalidad de los números naturales, ya que ambos son tan numerosos como sus raíces, que constituyen la totalidad de los números naturales.
A continuación vimos que cuanto más grandes son los números, menos densamente distribuidos estaban los cuadrados y aún menos los cubos; por lo tanto está claro que cuanto más grandes son los números a los que nos movemos, más nos alejamos del infinito. Así se deduce que, ya que este proceso nos lleva más y más lejos del fin deseado, si al darnos la vuelta encontramos que algún número puede ser considerado como infinito, debe ser la unidad. En ella se satisfacen, de hecho, todos los requisitos de un número infinito: me refiero a que la unidad contiene en sí misma tantos cuadrados como cubos y como números naturales.
Simplicio – No entiendo bien el significado de esto.
Francamente, yo tampoco, y me da un poco de miedo que Galileo esté cayendo en la filosofía barata de la unidad. Si lo interpretamos de un modo matemático algo más serio –y quiero pensar que así es como intenta mirarlo él–, podemos pensar una vez más en límites.
Si considerásemos que el conjunto de todos los números naturales tuviera un solo elemento, el 1, entonces no habría paradoja de Galileo alguna: hay un cuadrado perfecto, el 1, cuya raíz es el 1, y la correspondencia es de uno a uno.
Salviati – No hay duda en el asunto, porque la unidad es a la vez un cuadrado, un cubo, un cuadrado de un cuadrado y todas las otras potencias; y no hay ninguna peculiaridad esencial en los cuadrados o cubos que no exista en la unidad. Por ejemplo, es la propiedad de dos números cuadrados que tienen entre ellos un medio proporcional; toma cualquier cuadrado que desees como primer término, y la unidad como el segundo, y siempre encontrarás un número que es el medio proporcional. Piensa en los cuadrados 9 y 4; 3 es el medio proporcional entre 9 y 1, y 2 es el medio proporcional entre 4 y 1. Entre 9 y 4 tenemos 6 como medio proporcional.
Esto merece una breve explicación, sobre todo si no sabes lo que es un medio proporcional. Observa la siguiente proporción directa:
Como ves, no es una proporción cualquiera, porque he hecho que tanto el denominador de la primera fracción como el numerador de la segunda –ambos llamados medios, mientras que el 9 y el cuatro se llaman extremos– sean iguales. Una proporción en la que los dos medios son iguales se denomina continua.
Bien, los medios idénticos de una proporción continua se llaman medios proporcionales. Por ejemplo, en la que acabo de poner, el medio proporcional es 6 como dice Galileo:
Y es cierto que entre dos cuadrados perfectos siempre hay un medio proporcional que es un número entero. Esto es inevitable, claro, porque siempre podremos hacer la raíz cuadrada del producto de sus cuadrados. Por ejemplo, entre 9 y 16 está el 12, porque 9 es el cuadrado de 3 y 16 el de cuatro:
Una propiedad de los cubos es que deben tener entre ellos dos medios proporcionales. Tomemos el 8 y el 27; entre ellos están el 12 y el 18; mientras que entre el 1 y el 8 están el 2 y el 4, y entre el 1 y el 27 están el 3 y el 9. Por lo tanto podemos concluir que la unidad es el único número infinito. Éstas son algunas de las maravillas que nuestra imaginación no puede asimilar, y que deberían avisarnos sobre el grave error que cometen quienes intentan hablar sobre el infinito asignándole las mismas propiedades que empleamos para lo finito, ya que las naturalezas de ambos no tienen nada en común.
Una vez más, no sé si Galileo está intentando ser riguroso o no. Es cierto que entre el 1 y cualquier cubo hay al menos dos medios propocionales, pero por qué eso significa que el 1 es el “número infinito”, no lo sé. He disfrutado igual la discusión sobre cuadrados y cubos perfectos y medios proporcionales entre ellos, pero la conclusión me parece floja –si la entiendo, claro–. Afortunadamente ahora el italiano deja la teoría de números y se va a la geometría.
Respecto a este asunto tengo que contaros una propiedad notable que se me acaba de ocurrir, y que explicará la enorme alteración y cambio de carácter que sufre una cantidad finita al convertirse en infinita. Dibujemos un segmento rectilíneo de longitud arbitraria AB, y hagamos que el punto C lo divida en dos partes desiguales. Entonces podemos afirmar que si dibujamos pares de segmentos, uno desde cada extremo A o B, de modo que la proporción entre sus longitudes sea la misma que entre AC y CB, sus puntos de intersección estarán todos sobre una circunferencia única.
Así, por ejemplo, trazando AL y BL desde A y B respectivamente, de modo que se encuentren en L y de modo que entre ellos haya la misma proporción que entre AC y BC, y trazando el par AK y BK que se cortan en K y que tienen la misma proporción y haciendo lo mismo con los pares AI, BI, AH, BH, AG, BG, AF, BF, AE, BE, todos tienen sus puntos de corte L, K, I, H, G, F, E sobre la misma circunferencia. Del mismo modo, si imaginamos que el punto C se mueve continuamente de manera que las líneas trazadas desde él a los extremos A y B siempre mantengan la misma proporción entre sus longitudes como existe entre los segmentos originales AC y CB el punto C trazará, como demostraré en un momento, una circunferencia.
Lo que Galileo intenta aquí, como veremos en un momento, es tratar de explicar que no es posible moverse “suavemente” de finito a infinito: que el paso del uno al otro no cambia sólo las cosas cuantitativamente, sino cualitativamente.
Para ello emplea un método bastante sencillo para dibujar una circunferencia, la proporcionalidad entre segmentos a dos extremos de uno dado, y creo que lo ha explicado con la suficiente claridad como para que no haga falta que yo lo repita. Eso sí, es crucial entender una cosa: el radio de la circunferencia que se obtiene empleando los extremos A y B depende completamente de dónde se elija el punto C. Si está muy cerca de A o de B, por ejemplo, se obtendrá una circunferencia muy pequeña, que se hace más grande si C se acerca al punto medio del segmento AB.
Y ahí está la clave de todo el argumento, claro.
Esa circunferencia aumentará de tamaño sin límite según el punto C se aproxima al punto medio, que llamaremos O; pero disminuirá de tamaño según C se aproxima al extremo B. Por lo tanto, si se realiza este movimiento que acabo de mencionar, los infinitos puntos situados en la línea OB describirán circunferencias de todos los tamaños posibles, algunas más pequeñas que la pupila del ojo de una mosca, otras mayores que el ecuador celeste.
Ahora bien, si movemos cualquiera de los puntos situados entre O y B todos describirán circunferencias, y los más cercanos a O trazarán circunferencias enormes. Pero si movemos el propio punto O de acuerdo con la ley antes mencionada, es decir, que los segmentos trazados desde O a los extremos A y B mantengan la misma proporción que los segmentos originales AO y OB, ¿qué tipo de línea se producirá?
Una circunferencia mayor que la más grande de todas las anteriores, es decir, una circunferencia de tamaño infinito. Pero desde el punto O también puede trazarse una línea recta perpendicular a BA y que llegue hasta el infinito sin curvarse jamás, como hacían las otras, para que sus extremos puedan tocarse, ya que el punto C, con su movimiento limitado, tras haber descrito la semicircunferencia superior CHE hace lo propio con la semicircunferencia inferior EMC, volviendo así al punto de partida.
Pero el punto O, tras empezar a trazar su circunferencia como hicieron todos los demás puntos del segmento AB (porque los puntos del otro segmento OA también trazan sus propias circunferencias, tanto más grandes cuanto más cerca de O) no puede volver a su posición inicial, ya que la circunferencia que describe, al ser la mayor de todas, es infinita; de hecho, traza una línea recta infinita como circunferencia de un círculo infinito.
De hecho, es probable que en clase de Matemáticas, o de Dibujo Técnico, te hayan dicho precisamente esto: que una circunferencia de radio infinito es una recta. Y seguro que te causó cierto desasosiego, como le sucede al divino italiano.
Pero para él el cambio radical y cualitativo no es que algo de tamaño finito se convierta en infinito, ni siquiera que algo curvo se convierta en recto: tanto una cosa como la otra son mensurables cuantitativamente, y el paso es gradual de una longitud finita a una infinita, o de una curvatura finita a una infinitesimal.
El cambio para Galileo es otro: es que una línea cerrada se convierta en una línea abierta, ya que considera que eso no es gradual.
Pensad ahora en la diferencia que existe entre un círculo finito y otro infinito, ya que el segundo cambia de carácter de manera que no sólo pierde su existencia, sino la misma posibilidad de existir; de hecho, podemos comprender ya claramente que no puede existir una circunferencia infinita. De modo similar, no puede haber una esfera infinita, ni un cuerpo sólido infinito, ni ninguna superficie infinita independientemente de su forma. Ahora bien, ¿qué podemos decir respecto a esta metamorfosis en la transición de finito a infinito? ¿Y por qué deberíamos sentir mayor repugnancia al ver que en nuestra búsqueda del infinito entre los números lo hemos encontrado en la unidad? Tras haber reducido un sólido en muchas partes constituyentes, tras haberlo reducido al polvo más fino y dividido en sus átómos indivisibles e infinitos en número, ¿por qué no podemos decir que este sólido ha sido reducido a un solo continuo, tal vez a un fluido como el agua o el mercurio o incluso un metal fundido? ¿No vemos que las piedras pueden fundirse hasta formar vidrio, y el propio vidrio si se calienta lo suficiente puede volverse más fluido aún que el agua?
Sagredo – ¿Debemos entonces creer que las sustancias se vuelven fluidas por ser reducidas a sus componentes infinitamente pequeños e indivisibles?
Salviati – No puedo encontrar una mejor manera de explicar ciertos fenómenos a los que pertenece el que voy a describir. Cuando tomo una sustancia dura como una piedra o un metal y la reduzco, mediante un martillo o una lima fina, al polvo más diminuto e impalpable, está claro que sus partículas más pequeñas, aunque al tomarlas una a una son, por cuenta de su minúsculo tamaño, imperceptibles a nuestra vista y tacto, aún tienen un tamaño finito, poseen una forma propia y pueden ser contadas.
También es cierto que cuando se apilan permanecen apiladas; y si se hace una cavidad en el montón, dentro de ciertos límites la cavidad permanece y las partículas circundantes no se apresuran a rellenarla. Si se agita el montón, las partículas vuelven al reposo inmediatamente después de eliminar el agente perturbador. Los mismos efectos se observan en todos los montones de partículas más y más grandes de cualquier forma, incluso esférica, como sucede con montones de mijo, trigo, perdigones y cualquier otro material.
Pero si intentamos detectar estas propiedades en el agua, no las encontramos, porque una vez apilada, inmediatamente se desparrama salvo que la retengamos utilizando algún tipo de recipiente; cuando hacemos una cavidad en ella, inmediatamente la rellena, y cuando la perturbamos fluctúa durante un largo tiempo, y envía olas a través de grandes distancias. Viendo que el agua tiene menos consistencia que el polvo más fino –de hecho carece completamente de consistencia– podemos llegar a la conclusión, en mi opinión muy razonable, de que las partículas mínimas a las que puede reducirse son muy diferentes de las partículas finitas y divisibles; de hecho, la única diferencia que puedo descubrir es que las primeras son indivisibles.
También la exquisita transparencia del agua apoya esta idea; porque el cristal más transparente, al ser roto y triturado y reducido a polvo, pierde su transparencia, y cuanto más fino el triturado, mayor la pérdida. Pero en el caso del agua, cuanto mayor es la división, mayor es la transparencia. El oro y la plata, al ser pulverizados usando ácidos hasta una finura mayor que la que es posible con la lima más fina, permanecen siendo polvos, y no se convierten en fluidos hasta que las partículas más pequeñas, indivisibles, del fuego o de los rayos solares los disuelven, según creo, en sus constituyentes últimos, indivisibles e infinitamente pequeños.
Una vez más, Galileo se equivoca pero merece una encendida defensa. Es cierto que los constituyentes del agua no son infinitamente pequeños, ni tampoco indivisibles. Con los datos de que disponía el italiano, sin embargo, hubiera sido imposible distinguir la existencia de moléculas de la de auténticos átomos indivisibles en el sentido griego clásico.
Pero Galileo sí se percata, utilizando los datos de que dispone y su afilada razón, de la diferencia fundamental que existe entre un compuesto finamente pulverizado y un fluido: una diferencia, en su opinión, cualitativa, que no podría cambiarse por mucho que se limara un compuesto que no fuera fluido, como la diferencia entre una recta y una circunferencia.
Pero de esto, y muchas otras cosas más, seguiremos hablando en la siguiente entrega de esta traducción comentada. ¡Hasta entonces!